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1、2012年江苏省数学奥林匹克夏令营讲座稿复数与方程江苏省宝应中学周松声【基础知识】1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2．复数的几种形式：z=a+bi（a,b∈R）称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成，a称实部，记作Re(z)；b称虚部，记作Im(z)；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点Z相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来
2、表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，连接OZ，设∠xOZ=θ,
3、OZ
4、=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作
5、z
6、，由勾股定理知
7、z
8、=.如果用eiθ表示cosθ+isin
9、θ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。3．复数的运算法则加、减法：乘法：几何意义：两个复数的乘积对应的向量就是把向量按逆时针方向旋转一个角（若，则按顺时针旋转），再把它的模变为原来的倍除法：乘方：N）；开方：复数次方根是几何意义：一个复数7次方根在复平面上对应的点均匀落在一个以原点为圆心，半径为的圆上4．复数的模与共轭复数复数的模的性质①②③④、对应的向量、反向时取等号；⑤，与复数对应的向量同时取等号.共轭复数的性质①；②；③④；⑤；⑥⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是⑧若
10、z
11、=1，则。5．单位根的性质：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简
12、称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).6．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。7．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0
13、，当Δ=b2-4ac<0时方程有两个共轭的虚数根，分别为为7【典型题讲解】一.基础习题1已知，则1+z+z2+…+z2012=__________。2设x是模为1的复数，则函数的最小值为___________3.若对一切R，复数的模不超过2，则实数的取值范围为_______________.4设复数z=(≤≤18)，复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_______.5．二次方程(1－i)x2＋(l＋i)x＋(1＋il)＝0(i为
14、虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．6若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的两个虚根且，则__________。7．已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是__________。8二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。9．若复数z1，z2满足
15、z1
16、=2，
17、z2
18、=3，，则z1·z2= ．10设a，在复数集C中解方程11关于x的二次方程中，均是复数，且，设这个方程的两个根满足，求的最大值和最
19、小值．712.复数z满足
20、z
21、=1，求的最大值和最小值及相应的复数z.13设，有三个正根，求证：必有一个正根及一对共轭复根14考虑复平面上的正方形，它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程的4个根.求这种正方形面积的最小值15．设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中S为实数且
22、S
23、≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．7二复数与其他知识16.求证：。17计算：（1）；（2）（3）设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则+…+a3k-__________。
24、18．运用复数证明：任给8个非零实数a1,a2,…,a8，证明六个
