2019_2020学年高中数学课时分层作业3距离和高度问题（含解析）新人教B版必修5

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1、课时分层作业(三)　距离和高度问题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．海上的A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　)A．10nmile　　　　　B．nmileC．5nmileD．5nmileD　[由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得BC＝5(nmile)．]2．如图所示，从气球A上测得正前下方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(　　)A．240(－1)

2、mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)mC　[∵tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)，故选C．]3．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　)A．20mB．20(1＋)mC．10(＋)mD．20(＋)mB　[如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20m．∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.选B

3、．]4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是(　　)A．50nmileB．70nmileC．90nmileD．110nmileB　[到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝＝70(nmile)．]5．一艘军舰在一未知海域向正西方向行驶(如图所示)，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30°方向上，行驶4千米到达B处后，测得C在西偏北75°方向上，此时看山顶D的仰角为30°，则此岛屿露出海平面的部

4、分CD的高度为(　　)A．千米B．千米C．千米D．2千米B　[在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC＝＝2，CD＝BCtan30°＝，所以CD的高度为千米．]二、填空题6．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C．测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.50　[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50(m)．]7．江岸边有一炮台高30m．江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，

5、而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距______________m.30　[设两条船所在位置分别为A，B两点(图略)，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝＝30(m)，BC＝＝30(m)，∠C＝30°，AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos30°＝900，∴AB＝30(m)．]8．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．　[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝(千米)．]三、

6、解答题9．如图所示，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB．[解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．10．某观测站C在城A的南偏西20°的方向上

7、，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处，测得公路上距C处31km的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20km后到达D处，此时C，D间的距离为21km，此人还要走多远才能到达城A?[解]　设∠ACD＝α，∠CDB＝β(图略)，在△CBD中，由余弦定理，得cosβ＝＝＝－，所以sinβ＝，从而sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－cosβsin60°＝×＋×＝.在△ACD中，由正弦定理，得＝，则AD＝＝15(km)．所以此人还要走15km才能到达城A．[能力提升练]1．如图所示，