高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数指数函数的图象与性质的应用讲义苏教版

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1、第2课时　指数函数的图象与性质的应用学习目标核心素养1.能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.指数函数形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人

2、9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．a(1＋p)8　[一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.]求函数的定义域、值域【例1】　求下列函数的定义域和值域：(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝.思路点拨：使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．[解]　(1)由x－4≠0，得x≠4，故y＝2的定义域为{x

3、x≠4}．又≠0，即2≠1，故y＝2的值域为

4、{y

5、y>0，且y≠1}．(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，∴y＝的定义域为(－∞，0]．由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，∴y＝的值域为[0,1)．(3)y＝的定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤＝16.又∵>0，故函数y＝的值域为(0,16]．1．对于y＝af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(

6、ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．1．(1)函数f(x)＝＋的定义域为________．(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．(－3,0]　[(1)由得－3

7、率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．思路点拨：本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．[解]　(1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝1

8、00(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符

9、合题意的解，并作答.2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．[解]　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．则人均占有粮食为千克，经过2年后，人均占有粮食为千克，…经过x年后，人均占有粮食为y＝千克，即所求函数解析式为y＝360(x∈N*)．指数函数性质的综合应用[探究问题]

10、通过指数函数y＝2x，y＝的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？[提示]　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质a>100时，y>1；当x<0时，00时，01单调性是R上的增函数是R上的减函数【例3】　已知定义