指数函数图象和性质的应用

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1、指数函数的图象和性质的应用一、教学目标：知识与技能：拿握指数函数的图象和性质。过程与方法：结合函数的图象及性质，加深对指数函数的理解。情感、态度与价值观：通过指数函数性质，解决复合函数的定义域、值域、单调性等相关问题。二、教学重难点：教学重点:指数函数的图彖特征及其性质。教学难点：对函数五大性质中的定义域、值域、单调性的运用。三、教学过程：复习引入：用简单好记的顺口溜总结指数函数图象及其性质。顺口溜：左右无限上冲天，永与横轴不沾边；大一增，小-•减，图像恒过(0,1)点。左右无限，指的是指数函数定义域

2、两边尢限取，即定义域为R,或(-8,+8)；上冲天，函数值可取无限人，并且与横轴不沾边，即无限接近0但取不到0,可得值域为(0,+8:大一增，小一减，指的是指数函数的底数a,当a>l时，函数为增函数，当0心〈1时，函数为减函数；最后一句，即图象过定点(0,l)oa>l00时,y>lX<0时，00时，0l新课讲解：例］:已

3、知函数f(x)二aX(a>0,且aH1)的图象经过点(3,n),求f(0),f(l),f(-3)的值。分析：要求f(0),f(l),f(-3)的值,我们需要先求出指数函数f(x)=ax的解析式，也就是要先求a的值。根据函数图象过点(3,it)这个条件，可以求得底数a的值。解:因为f(x)px的图象经过点(3,血),月以f(3)=71,BPa3=ir,解得aF亍,于是f(X)=1T3,所以，f(0)=1,f(1)=713,f(-3)=71-J1T例2：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能够将

4、人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后，我国人口数授多为多少(精确到亿)？解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后，我国人口数为y亿。1999年底，人口数为13亿；经过1年，人口数为13+13X1%=13X(1+1%)0；2经过2年，人口数为13X(1+1%)+13X(1+1%)X1%=13X(1+1%)(亿);3经过3年，人口数为13X(1+1%)(亿)：•••经过X年，人口数为y=13x(1+1%)X=13X1・OP(亿);当x二20时，y二13X1.0120〜16(亿).所以，经过20

5、年后，我国人口数最多为16亿.在这里，函数y=13X(l+l%)x是个什么函数？它是指数函数吗？在实际问题中，经常会遇到例2这种类型的函数，这不是指数函数，因为其系数不为1,我们通常把它称为指数型函数，即形如y=kax(kGR,k^0;a>0/且a^l)的函数。我们之前探讨过指数函数的性质，在五大性质屮，对于定义域、值域、单调性都有所了解，而函数的定义域，值域，单调性无论是在今后的学习还是高考中，都有极大的比例，所以极其亜要，看看下血两道题，我们一起探讨吧。练习：求下列函数的定义域及值域：(1)y=3

6、仮耳(2)y=Vl-3X分析：(1)：x・2N0,x$2,即定义域为［2,+8);Vx^2$0,3戶21,即值域为［1,+8)(2):1-3X20,3X1=3°,由指数函数的单调性即知,xW0,即定义域为(-8,0］;由0V30,001-3«1,即值域为［0,1)这两个函数是我们Z前所没有见到过的，若是把VT兀看做一个整体，那就是我们才学的指数函数，把卜彳^看做-个整体，也是我们所熟知的一种函数逅,它的单调性也是容易知道的，那对于y=3®这种类型的函数，我们应该怎么去求解呢？把某部分作为一个整体，这其

7、实就是复合换数的思想，冋顾之前所学到的复合函数单调性问题,解决这类函数的单调性问题，通常川复合函数的单调性来求解，即“同增异减”，同表示内外层复合函数单调性相同，异表示内外层复合函数单调性不同，相同的时候复合函数单调递增，不同时则单调递减，用下图表示出来：y=f(t)增/减、增/减't=g(x)增/减减'增/y=f(g(x))增/减'归纳为：内外层复合函数单调性的规律：“同增异减”冋到刚刚那两道题，尸3心，可以是y却与仁7^=1的复合，内函数t=V^2单调递增，外函数也是单调递增的，山规律即得y二3

8、心单调递增。同理，请同学们判断y二vm,最厉得到的结果是单调递减。这里讨论了定义域、值域、单调性，那奇偶性呢？我们在研究指数函数性质的吋候，发现它没有奇偶性，也没有对称性，但在现实生活屮，我们往往会通过一些变形，使得变形之后的函数具有这些性质，请同学们思考下而这道经典例题课后思考：已知定义域为R的函数f(x)二总芒是奇函数,(1)(2)求a,b的值；若对任意的tWR,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)vO恒成立,求k的取值范围。分析：定义域为R的奇