高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1.2第2课时指数函数的图象与性质的应用学业分层测评

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1、3.1.2第2课时指数函数的图象与性质的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为________．【解析】　由ax－1≥0，得ax≥1＝a0，因为x∈(－∞，0]，由指数函数的性质知00，∴y∈(0,2]．【答案】　(0,2]3．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是________．【解析】　依题意，对任意x∈R恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.【答案】　[－1,0

2、]4．若函数f(x)＝a

3、2x－4

4、(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．【解析】　由f(1)＝，得a2＝，所以a＝，即f(x)＝

5、2x－4

6、.由于y＝

7、2x－4

8、在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．【答案】　[2，＋∞)5．函数y＝8－24－x(x≥0)的值域是________．【解析】　∵x≥0，∴4－x∈(－∞，4]，∴24－x∈(0,16]，∴8－24－x∈[－8,8)．【答案】　[－8,8)6．已知函数f(x)＝e

9、x－a

10、(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，

11、则实数4a的取值范围是________．【解析】　∵e＞1，令y＝

12、x－a

13、，∴y＝

14、x－a

15、在[1，＋∞)上为增函数，函数y＝

16、x－a

17、的图象如图，可知当a≤1时，函数y＝

18、x－a

19、在[1，＋∞)上为增函数．【答案】　(－∞，1]7．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次.【解析】　设原来污垢数为1个单位，则经过第一次漂洗，存留量为原来的；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的；也就是原来的2；经过第三次漂洗，存留量为原来的3；经过第四次漂洗，存留量为原来的4，……，经过第x次漂洗，存留量为原来的x.由题意，x≤，4x≥100,2x

20、≥10，∴x≥4，即至少漂洗4次．【答案】　48．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．【解析】　当x<0时，－x>0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)，则f(x)＝2x－1.当x＝0时，f(0)＝0，由f(x)<－，解得x<－1.【答案】　(－∞，－1)二、解答题9．已知函数(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．【解】　(1)当a＝－1时，4令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝x在R上是减函数，∴f(

21、x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.10．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶？(精确到1小时)【解】　1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL，…，x小时后其酒精

22、含量为0.3(1－50%)xmg/mL，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，x≤.采用估算法，x＝1时，1＝>，x＝2时，2＝＝<.由于x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶．[能力提升]1．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于________．【解析】　由题意知a>1，∴解得a＝.【答案】　2．定义运算a⊗b＝则函数f(x)＝3－x⊗3x的值域为________．【解析】　由题设可得f(x)＝3－x⊗3x＝其图象如图实线所示，由图知函数f(x)的值域为(0,1]．4【答案】　(0,1]3．已知定义在

23、R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.【解析】　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，