2018版高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1

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1、3.1.2第2课时　指数函数的图象与性质的应用1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)[基础·初探]教材整理　指数函数形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．【解析】　一个月后a(1＋

2、p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8.【答案】　a(1＋p)8[小组合作型]求函数的定义域、值域　求下列函数的定义域和值域：【精彩点拨】　使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．1．对于y＝af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域．②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(ax)2＋n(

3、ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．[再练一题]1．(1)函数f(x)＝＋的定义域为________.(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．【解析】　(1)由得－3

4、下列问题：(1)试写出x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【精彩点拨】　本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．【自主解答】　(1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y

5、＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．[再练一题]2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口

6、平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．【解】　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．则人均占有粮食为千克，经过2年后，人均占有粮食为千克，…经过x年后，人均占有粮食为y＝千克，即所求函数解析式为y＝360x(x∈N*)．[探究共研型]指数函数性质的综合应用探究　通过指数函数y＝2x，y＝x的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？【提示】　指数函数y＝ax

7、(a>0，且a≠1)的图象和性质　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围；(3)求f(x)在[－1,2]上的值域．【精彩点拨】　(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域．【自主解答】　(1)∵函数y＝f(x)是定义域R上的奇函数，∴∴∴b＝1，a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，设x1，x2∈R且x1

8、，∴f(x)在定义域R上为减函数，由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2t>k－2t