2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用（第3课时）导数与函数的综合问题教学案

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1、第3课时　导数与函数的综合问题利用导数解决不等式的有关问题►考法1　证明不等式【例1】　(2018·郑州二模)已知函数f(x)＝lnx－2ax＋1(a∈R)．(1)讨论函数g(x)＝x2＋f(x)的单调性；(2)若a＝，证明：

2、f(x)－1

3、＞＋.[解]　(1)由题意知函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)＝x2＋lnx－2ax＋1，则g′(x)＝＋2x－2a＝(x＞0)，记h(x)＝2x2－2ax＋1，①当a≤0时，因为x＞0，所以h(x)＞0，故函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当

4、0＜a≤时，因为Δ＝4(a2－2)≤0，所以h(x)≥0，故函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a＞时，由g′(x)＜0，解得x∈，所以函数g(x)在区间上单调递减，同理可得函数g(x)在区间，上单调递增．(2)证明：当a＝时，设H(x)＝f(x)－1＝lnx－x，故H′(x)＝，故H′(x)＜0，得x＞1，由H′(x)＞0，得0＜x＜1，所以H(x)max＝f(1)－1＝－1，所以

5、H(x)

6、min＝1.设G(x)＝＋，则G′(x)＝，由G′(x)＜0，得x＞e，由G′(x)＞0，得0＜x＜e

7、，故G(x)max＝G(e)＝＋＜1，所以G(x)max＜

8、H(x)

9、min，所以

10、f(x)－1

11、＞＋.►考法2　由不等式恒(能)成立求参数的范围【例2】　已知函数f(x)＝.(1)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围；(2)若∃x0∈[1，e]，使不等式f(x0)≥成立，求实数k的取值范围．[解]　(1)当x≥1时，k≤恒成立，令g(x)＝(x≥1)，则g′(x)＝＝.再令h(x)＝x－lnx(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，所

12、以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]．(2)当x∈[1，e]时，k≤有解，令g(x)＝(x∈[1，e])，由(1)题知，g(x)为单调增函数，所以g(x)max＝g(e)＝2＋，所以k≤2＋，即实数k的取值范围是.[规律方法]　1.利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：f(x)＞g(x).法一：移项，f(x)－g(x)＞0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化证明F(x)min＞0，利用导数研究F(x)单调性，用上定义域的端点值.法二：

13、转化证明：f(x)min＞g(x)max.法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)

14、≥g(t)成立，求实数a的取值范围．[解]　(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x.令g′(x)＞0得x＜0，或x＞，令g′(x)＜0得0＜x＜，又x∈[0,2]，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)min＝g＝－，又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min

15、＝≥M，则满足条件的最大整数M＝4.(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)min≥g(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1.在区间上，f(x)＝＋xlnx≥1恒成立等价于a≥x－x2lnx恒成立．设h(x)＝x－x2lnx，h′(x)＝1－2xlnx－x，令m(x)＝xlnx，由m′(x)＝lnx＋1＞0得x＞.即m(x)＝xlnx在上是增函数，可知h′(x)在区间上是减函数，又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；

16、当＜x＜1时，h′(x)＞0.即函数h(x)＝x－x2lnx在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．利用导数解决函数的零点问题►考法1　判断、证明或讨论函数零点的个数【例3】　设f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x.当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．[解]　令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x＞0，问题