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《2020版高考数学一轮复习课后限时集训65不等式选讲不等式选讲理新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训(六十五) 不等式选讲(建议用时：60分钟)A组 基础达标1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－
2、x＋a
3、－
4、x－2
5、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．[解] (1)当a＝1时，f(x)＝可得f(x)≥0的解集为{x
6、－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于
7、x＋a
8、＋
9、x－2
10、≥4.而
11、x＋a
12、＋
13、x－2
14、≥
15、a＋2
16、，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于
17、a＋2
18、≥4.由
19、a＋2
20、≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．设函数f(x)＝
21、2x＋1
22、
23、－
24、x－2
25、.(1)解不等式f(x)＞1；(2)若存在x∈，使不等式a2－3a＞f(x)成立，求实数a的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝
26、2x＋1
27、－
28、x－2
29、，∴f(x)＝则f(x)＞1⇔或或解得x＜－4或＜x≤2或x＞2.综上，不等式f(x)＞1的解集为(－∞，－4)∪.(2)存在x∈，使不等式a2－3a＞f(x)成立⇔a2－3a＞f(x)min，x∈，由(1)知，x∈时，f(x)＝3x－1，∴当x＝－时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝－，则a2－3a＞－，解得a＜1或a＞5，∴实数a的取值范围为(－∞，1)∪(5，＋∞)．3．已知a，b，c∈R
30、，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解] 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，当且仅当＝＝c－3时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.4．(2019·长春质检)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.(1)求证：a2＋b2≥2；(2)求证：≥1＋.[解] (1)根据重要不等式得：a
31、2＋b2≥(a＋b)2＝2.(2)＋＝×＝＋＋≥＋＝，等号成立的条件为：＝，故≥1＋.5．已知函数f(x)＝g(x)＝af(x)－
32、x－1
33、.(1)当a＝0时，若g(x)≤
34、x－2
35、＋b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围；(2)当a＝1时，求g(x)的最大值；[解] (1)当a＝0时，g(x)＝－
36、x－1
37、，∴－
38、x－1
39、≤
40、x－2
41、＋b⇒－b≤
42、x－1
43、＋
44、x－2
45、.∵
46、x－1
47、＋
48、x－2
49、≥
50、x－1＋2－x
51、＝1，∴－b≤1，∴b≥－1.(2)当a＝1时，g(x)＝可知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g
52、(1)＝1.B组 能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝
53、x＋1
54、＋
55、x－1
56、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋
57、x＋1
58、＋
59、x－1
60、－4≤0.①当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[－1,1]时，g
61、(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解] (1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最
62、小值6.(2)证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2
63、＋2ab)
