2020届高考数学总复习课时跟踪练（十六）导数与函数的零点（提升课）文（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(十六)A组　基础巩固1．(2019·贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：x－10234f(x)12020f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图象如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2，1＜a＜2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案：D2．(2019·邢台月考)已知f(x)＝ex－ax2.命题p：

2、∀a≥1，y＝f(x)有三个零点，命题q：∃a∈R，f(x)≤0恒成立．则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧qB．(¬p)∧(¬q)C．(¬p)∧qD．p∧(¬q)解析：对于命题p：当a＝1时，f(x)＝ex－x2，在同一坐标系中作出y＝ex，y＝x2的图象(图略)，由图可知y＝ex与y＝x2的图象有1个交点，所以f(x)＝ex－x2有1个零点，故命题p为假命题，因为f(0)＝1，所以命题q显然为假命题．故(¬p)∧(¬q)为真．答案：B3．若函数f(x)＝＋1(a＜0)没有零点，则实数a的取值

3、范围为________．解析：f′(x)＝＝(a＜0)．当x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝＋1.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝＋1＞0，解得a＞－e2，因此－e2＜a＜0.答案：(－e2，0)4．(2019·汕头一模)函数f(x)＝lnx＋a的导数为f′(x)，若方程f′(x)＝f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为________．解析：由函数f(x)＝lnx＋a可得f′(x)＝，又x0使f′(x)＝f(x)成立

4、，所以＝lnx0＋a，且01.答案：(1，＋∞)5．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A，所以－4a－4a－2＝，解得a＝2，即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2.由f′(x)>

5、0，得x<－1或x>2.所以函数f(x)的单调增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知f(x)极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－，f(x)极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－，由数形结合，可知要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点，则－<2m－3<－，解得－

6、的根的个数，并说明理由．(1)证明：由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，因为h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0，所以h(1)·h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)解：由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x.由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′(x)＝ex－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1，则φ′

7、(x)＝ex＋x－.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内只有一个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.B组　素养提升7．(2018·江苏卷改编)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，求函数f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和．解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．(1)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0

8、，＋∞)上递增，又f(0)＝1，所以f(x)在(0，＋∞)上无零点．(2)当a>0时，由f′(x)>0解得x>，由f′(x)<0解得0