2019版一轮优化探究理数练习：第六章 第一节　数列的概念及简单表示法 含解析

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1、一，填空题1．在数列{an}中，a1＝6且an－an－1＝＋n＋1(n∈N*，n≥2)，则这个数列的通项公式an＝________.解析：由题意得＝＋1，故数列{}是以＝3为首项，1为公差的等差数列，故＝3＋1·(n－1)＝n＋2，故an＝(n＋1)(n＋2)．答案：(n＋1)(n＋2)2．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于________．解析：∵an＋1＝(2n－λ)an，a2＝3，a1＝1，∴3＝(2×1－λ)×1，∴λ＝－1，∴an＋1＝(2n＋1

2、)an，∴a3＝(2×2＋1)×a2＝5×3＝15.答案：153．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N*)，则a17＝________.解析：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝.答案：4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是________．解析：an＋1>an，即(n＋1)2＋k(

3、n＋1)＋2>n2＋kn＋2，则k>－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时－(2n＋1)取得最大值－3，所以k>－3.答案：k>－35．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.解析：∵an＋an＋1＝(n∈N*)，∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，故a2n＝2，a2n－1＝－2.∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.答案：6．已知数列{an}满足：a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2014＝___

4、_____.解析：a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案：07．已知数列{an}的各项均为正数，若对任意的正整数p，q，总有ap＋q＝ap·aq，且a8＝16，则a10＝________.解析：由an>0且ap＋q＝ap·aq得16＝a8＝a＝a＝a，a1＝，∵ap＋1＝ap·a1＝ap，∴a10＝a9＝2a8＝32.答案：328．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且

5、a1＝2，公积为5，Tn为数列{an}前n项的积，则T2015＝________.解析：T2005＝a1(a2a3)·(a4a5)…(a2014·a2015)＝2·51007.答案：2·510079．如图是一个n层(n≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n层每边有n个点，则这个点阵的点数共有________个．解析：每层的点数可构成数列{an}，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＝an－1＋6(n≥3)，那么，前n层所有点数之和为Sn＝1＋＝3n

6、2－3n＋1.答案：3n2－3n＋1二，解答题10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，求该数列的通项公式．解析：由S1＝1得a1＝1，又由S2＝2可知a2＝1.∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N*且n≥2)，即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N*且n≥2)，∴an＋1＝2an(n∈N*且n≥2)，故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．∴数列

7、{an}的通项公式为an＝，(n∈N*)．11．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)∵不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.当a＝0时，函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上递增，不满足条件②；当a＝4时，函数f(x)＝x2－4

8、x＋4在(0,2)上递减，满足条件②.综上得a＝4，即f(x)＝x2－4x＋4.(2)由(1)知Sn＝n2－4n＋4＝(n－2)2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5.∴an＝.12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}