专题18 三角函数的最值的求解策略-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板（解析版）

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1、【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一、所涉及的知识广泛、综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性、如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题、其试题难度属中档题、【方法点评】方法一配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子、通常采取换元法将其变为多项式函数；

2、第二步利用函数单调性求解三角函数的最值、第三步得出结论、[来源:学+科+网]例1函数的最小值为．【答案】【解析】试题分析：、；故填．学科网考点：1．二倍角公式；2．一元二次函数的值域．【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令、将其转化为关于的二次函数求最值问题、【变式演练1】已知函数有最大值、求实数的值．【答案】或【解析】试题分析：、令、则、对称轴为、考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于的二次函数、根据的取值范围[－1、1]、利用对称轴进行分类讨论求出最大值、解出a

3、的值．【变式演练2】求函数的最大值与最小值、【答案】10与6、【解析】试题分析：将原式进行化简、利用二倍角公式、同角三角函数关系、将原式化成含的式子、利用换元法、令、根据二次函数的性质求最值、试题解析：令、由于函数在中的最大值为最小值为故当时取得最大值、当时取得最小值、考点：1、三角恒等变换；2、二次函数在给定区间求最值、方法二化一法使用情景：函数表达式形如类型解题模板：第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式；第二步利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式；第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值、例2已知函数

4、、则在上的最大值与最小值之差为．【答案】【解析】考点：二倍角公式、两角和公式、正弦函数的值域．【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力、涉及有二倍角公式和两角和公式、、进而利用的范围得到、即为换元思想、把看作一个整体、利用的单调性即可得出最值、这是解决的常用做法．学科网【变式演练3】设当时、函数取得最大值、则__________．【答案】[来源:Zxxk、Com]【解析】试题分析：,其中、故当函数取得最大值时、考点：辅助角公式、三角函数的最值和值域【变式演练4】已知函数的最小正周期是．(1)求的单调递增区间；(2)求在[、]上的最大值和最小值．【答

5、案】(1)；(2)最大值、最小值(2)当时、,所以在上的最大值和最小值分别为、、学科网考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；【变式演练5】已知函数图象的一条对称轴是、且当时、函数取得最大值、则．【答案】【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．【变式演练6】已知的定义域为[]、(1)求的最小值、(2)中,,,边的长为函数的最大值,求角大小及的面积、【答案】(1)函数的最小值；(2)的面积、【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形、【变式演练7】已知函数、（I）求的最小正周期和最大值；（II）求在上的单调递增区间．【答案】

6、（I）的最小正周期为、最大值为；（II）．【解析】试题分析：（I）利用三角恒等变换的公式、化简、即可求解的最小正周期和最大值；（II）由递增时、求得、即可得到在上递增．考点：三角函数的图象与性质．方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子、通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值、第三步得出结论、例3求函数的最值、【答案】的最大值为、最小值为、【解析】设则、即为过点两点的斜率、所以要求函数的最大值、只要求直线的斜率的最大值即可、因为、

7、所以在单位圆上、因为直线的方程为：、所以直线与单位圆相切时、斜率取得最值、由、解得、所以的最大值为、最小值为、学科网【变式演练8】求函数在区间上的最小值、【答案】的最大值为、最小值为、【点评】若函数表达式可化为形如（其中、为含有三角函数的式子）、则通过构造直线的斜率、通过数与形的转化、利用器几何意义来确定三角函数的最值、[来源:学_科_网]【高考再现】1、【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为()（A）11        （B）9     （C）7        （D）5【答案】B考点：三角函数的性质【名

8、师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题、注意本题解法中用到的两个结论: