2018届高三数学每天一练半小时：第52练 平行的判定与性质 含答案

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1、训练目标会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行．训练题型证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行．解题策略【1】熟练掌握平行的有关定理、性质；【2】善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的做法.1.【2016·成都第三次诊断】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，CE＝2EC1.【1】若F是AB的中点，求证：C1F∥平面BDE；【2】求三棱锥D－BEB1的体积．2．已知两正方形ABCD与ABEF内的点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM∶MC＝FN∶NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.【

2、1】证明：折叠后MN∥平面CBE；【2】若AM∶MC＝2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．3．【2016·辽宁五校协作体上学期期中】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝，AA1＝2.【1】证明：AA1⊥BD；【2】证明：平面A1BD∥平面CD1B1；【3】求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC.设D，E分别为PA，AC的中点．【

3、1】求证：DE∥平面PBC；【2】求证：BC⊥平面PAB；【3】试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．答案精析1．【1】证明　连接CF交BD于点M，连接ME，如图所示．易知△BMF∽△DMC.∵F是AB的中点，∴＝＝.∵CE＝2EC1，∴＝.于是在△CFC1中，有＝，∴EM∥C1F.又EM⊂平面BDE，C1F⊄平面BDE，∴C1F∥平面BDE.【2】解　∵V三棱锥D－BEB1＝·DC·S△BEB1＝×3××3×3＝，∴三棱锥D－BEB1的体

4、积为.2.【1】证明　如图，设直线AN与直线BE交于点H，连接CH，因为△ANF∽△HNB，所以＝.又＝，所以＝，所以MN∥CH.又MN⊄平面CBE，CH⊂平面CBE，所以MN∥平面CBE.【2】解　存在，过M作MG⊥AB于点G，连接GN，则MG∥BC，因为MG⊄平面CBE，所以MG∥平面CBE，又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，所以平面MGN∥平面CBE.所以点G在线段AB上，且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.3．【1】证明　∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD.∵A1O∩AC＝

5、O，A1O⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC.∵AA1⊂平面A1AC，∴AA1⊥BD.【2】证明　∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥D1C，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，∴平面A1BD∥平面CD1B1.【3】解　∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．在正方形ABCD中，AB＝，可得AC＝2.在

6、Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，∴A1O＝，∴＝S△ABD·A1O＝×【】2×＝.∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为.4．【1】证明　因为点E是AC的中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.【2】证明　因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.【3】解　当点F是线段AB的中点时，过点D，E，F

7、的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB的中点F，连接EF，DF.由【1】可知DE∥平面PBC.因为点E是AC的中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．