2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：数　　列　数列的综合应用（含答案）

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1、第五章数列第6课时数列的综合应用1.在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________．答案：9解析：设公差d，由题设3[a1＋3d]＝7[a1＋6d]，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋[n－1]>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．2.已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝[n∈N]，则＝________．答案：解析：条件化为＝＋，即＋＝3，所以＝3n－1－，故＝－＝.3.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1、a3、2

2、a2成等差数列，则＝________．答案：3＋2解析：∵a1，a3，2a2成等差数列，∴2×a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，设等比数列{an}的公比为q且q＞0，则a3＝a1q2，a2＝a1q，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或1－[舍]，＝＝q2＝[＋1]2＝3＋2.4.[2013·郑州模拟]已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________．答案：16解析：因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0[

3、舍去]．又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.5.已知{an}是递增数列，且对任意n∈N都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案：[－3，＋∞]解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1>an，即[n＋1]2＋λ[n＋1]>n2＋λn，∴λ>－2n－1对于n∈N恒成立．而－2n－1在n＝1时取得最大值－3，∴λ>－3.6.在各项均为正数的数列{an}中，Sn为前n项和，na＝[n＋1]a＋anan＋1且a3＝π，则tanS4＝________．答案：解析：由na＝[n＋1]a＋anan＋1，可得[an＋an＋1][nan＋1－nan－an]＝0.∵

4、数列{an}各项都为正数，∴an＋an＋1＞0，∴nan＋1－nan－an＝0.∴＝.∴＝，＝，…，＝.各式相乘，得＝.∵a3＝π，∴an＝.∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋＋＝.∴tanS4＝tan＝tan＝.7.已知二次函数f[x]＝ax2＋bx的图象过点[－4n，0]，且f′[0]＝2n，[n∈N]．[1]求f[x]的解析式；[2]若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式．解：[1]由f′[x]＝2ax＋b，∴解得a＝，b＝2n，即f[x]＝x2＋2nx[n∈N]．[2]由＝＋2n，∴－＝2n.由累加得－＝n2－n，∴an＝[n∈N]．8.[2013·重

5、庆]已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.[1]求{an}的通项公式；[2]记{an}的前n项和为Sn，若a1、ak、Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．解：[1]设数列{an}的公差为d，由题意知解得所以an＝a1＋[n－1]d＝2＋2[n－1]＝2n.[2]由[1]可得Sn＝＝＝n[n＋1]．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.从而[2k]2＝2[k＋2][k＋3]，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1[舍去]，因此k＝6.9.在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．[1]求d，an；[

6、2]若d<0，求a1＋a2＋a3＋…＋an.解：[1]由已知得到：[2a2＋2]2＝5a1a34[a1＋d＋1]2＝50[a1＋2d][11＋d]2＝25[5＋d]121＋22d＋d2＝125＋25dd2－3d－4＝0或[2]由[1]知，当d<0时，an＝11－n，①当1≤n≤11时，an≥0，∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝；②当n≥12时，an≤0，∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－[a12＋a13＋…＋an]＝2[a1＋a2＋a3＋…＋a11]－[a1＋a2＋a3＋…＋an]＝2×－＝，所以，a1＋a2＋a3＋…＋a

7、n＝10.[2013·湖北]已知等比数列{an}满足：a2－a3＝10，a1a2a3＝125.[1]求数列{an}的通项公式；[2]是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解：[1]由已知条件得：a2＝5.又a2q－1＝10，∴q＝－1或3，所以数列{an}的通项an＝5×[－1]n－2或an＝5×3n－2.[2]若q＝－1，＋＋…＋＝－或0，不存在这样的正整数m；若q＝3，＋＋…＋＝<，不存在这样的正整数