最高考系列 高考总复习2014届高考数学总复习课时训练基础过关+能力训练第五章　数　　列第6课时　数列的综合应用.doc

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1、第五章　数　　列第6课时　数列的综合应用1.在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________．答案：9解析：设公差d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．2.已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝(n∈N*)，则＝________．答案：解析：条件化为＝＋，即＋＝3，所以＝3n－1－，故＝－＝.3.已知等比数列{an}

2、中，各项都是正数，且a1、a3、2a2成等差数列，则＝________．答案：3＋2解析：∵a1，a3，2a2成等差数列，∴2×a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，设等比数列{an}的公比为q且q＞0，则a3＝a1q2，a2＝a1q，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或1－(舍)，＝＝q2＝(＋1)2＝3＋2.4.(2013·郑州模拟)已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________．答案：16解析：因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，

3、所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)．又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.5.已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案：(－3，＋∞)解析：∵{an}是递增数列，∴an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，∴λ>－2n－1对于n∈N*恒成立．而－2n－1在n＝1时取得最大值－3，∴λ>－3.6.在各项均为正数的数列{an}中，Sn为前n项和，na＝(n＋1)a＋anan＋1且a3＝π，则tanS4＝________．答案：解析：由na＝

4、(n＋1)a＋anan＋1，可得(an＋an＋1)(nan＋1－nan－an)＝0.∵数列{an}各项都为正数，∴an＋an＋1＞0，∴nan＋1－nan－an＝0.∴＝.∴＝，＝，…，＝.各式相乘，得＝.∵a3＝π，∴an＝.∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋＋＝.∴tanS4＝tan＝tan＝.7.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n，(n∈N*)．(1)求f(x)的解析式；(2)若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式．解：(1)由f′(x)＝2ax＋b，∴解得a＝，b＝2n，即f(x)＝x

5、2＋2nx(n∈N*)．(2)由＝＋2n，∴－＝2n.由累加得－＝n2－n，∴an＝(n∈N*)．8.(2013·重庆)已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1、ak、Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意知解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(n＋1)．因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2.从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或

6、k＝－1(舍去)，因此k＝6.9.在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求

7、a1

8、＋

9、a2

10、＋

11、a3

12、＋…＋

13、an

14、.解：(1)由已知得到：(2a2＋2)2＝5a1a34(a1＋d＋1)2＝50(a1＋2d)(11＋d)2＝25(5＋d)121＋22d＋d2＝125＋25dd2－3d－4＝0或(2)由(1)知，当d<0时，an＝11－n，①当1≤n≤11时，an≥0，∴

15、a1

16、＋

17、a2

18、＋

19、a3

20、＋…＋

21、an

22、＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝；②当n≥12时，an≤0，∴

23、

24、a1

25、＋

26、a2

27、＋

28、a3

29、＋…＋

30、an

31、＝a1＋a2＋a3＋…＋a11－(a12＋a13＋…＋an)＝2(a1＋a2＋a3＋…＋a11)－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝2×－＝，所以，

32、a1

33、＋

34、a2

35、＋

36、a3

37、＋…＋

38、an

39、＝10.(2013·湖北)已知等比数列{an}满足：

40、a2－a3

41、＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知条件得：a2＝5.又a2

42、q－1

43、＝10，∴q＝－1或3，所以数列{an}的通项an＝5×(－1)n－2或an

44、＝5×3n－2.(2)若