1、课时作业15 利用导数研究函数的极值、最值1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析：由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′
2、(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．2．(2019·山西太原模拟)设函数f(x)＝x3－x＋m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为( A )A．－B．－1C.D．1解析：f′(x)＝x2－1，由f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1.所以f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m＝，函数f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝×13
3、－1＋＝－.故选A.3．(2019·河北三市联考)若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( A )A．2b－B.b－C．0D．b2－b3解析：f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3＜b＜1，则由f′(x)＞0，得x＜b或x＞2，由f′(x)＜0，得b＜x＜2，∴函数f(x)的极小值为f(2)＝2b－.4．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意
4、x1，x2，都有
5、f(x1)－f(x2)
6、≤t，则实数t的最小值是( A )A．20B．18C．3D．0解析：因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.5．(2019·浙江瑞安中学月考)已知函数
7、f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( C )A.B.C.D.解析：由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.6．(2019·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)若函数f(
8、x)＝－(1＋2a)x＋2lnx(a＞0)在区间内有极大值，则a的取值范围是( C )A.B．(1，＋∞)C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝(a＞0，x＞0)，若f(x)在区间内有极大值，即f′(x)＝0在内有解．则f′(x)在区间内先大于0，再小于0，则即解得1＜a＜2，故选C.7．(2019·江西南昌调研)已知a为常数，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则( D )A．f(x1)＞0，f(x2)＞－B．f(x1)＜0，f(
