2020高考数学第二章函数导数及其应用课时作业15导数与函数的极值最值文.docx

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1、课时作业15 导数与函数的极值、最值[基础达标]一、选择题1.函数y=的最大值为(  )A.e-1  B.eC.e2D.解析:令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当00,所以y极大值=f(e)=,在定义域内只有一个极值,所以ymax=.答案:A2.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为(  )A.12cm3B.72cm3C.144cm3D.160cm3解析:设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm,则x∈(

2、0,5),则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以y′=12x2-104x+160.令y′=0,得x=2或(舍去),所以ymax=6×12×2=144(cm3).答案:C3.[2019·山东省,湖北省部分重点中学质量检测]已知函数f(x)=xlnx-x2-x有极值,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:通解 f(x)=xlnx-x2-x,则f′(x)=lnx-mx.函数f(x)有极值,即f′(x)=lnx-mx有变号零点,即函数g(x)=与函数y=m在(0,+

3、∞)上的图象有交点(除去相切的情况).因为g′(x)=,所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)==,画出函数g(x)的大致图象,如图所示,若g(x)=与y=m的图象有交点(除去相切的情况),则m<,故选B.优解 当m=0时,f(x)=xlnx-x,f′(x)=lnx,当01时,f′(x)>0,故f(x)=xlnx-x在x=1处取得极值,符合题意,排除A,C;当m=时,f(x)=xlnx-x2-x,f′(x)=lnx-

4、x,令g(x)=lnx-x,则g′(x)=-,当00,当x>e时,g′(x)<0,故g(x)≤g(e)=0,即f′(x)≤0,f(x)单调递减,无极值,排除D.故选B.答案:B4.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(  )解析:由条件可知当01时,xf′(x)>0,所以f′(x)>0,函数递增,所以当x=1时,函数取得极小值.

5、当x<-1时,xf′(x)<0,所以f′(x)>0,函数递增,当-10,所以f′(x)<0,函数递减,所以当x=-1时,函数取得极大值.符合条件的只有C项.答案:C5.[2019·武汉市武昌区高三调研]若函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(0,2)上既有极大值又有极小值,则c2+2bc+4c的取值范围是(  )A.B.C.D.(0,1)解析:依题可知,f′(x)=x2+bx+c在(0,2)上有两个不同的零点,则有即则0

6、)2-4]2.∵-4

7、,则f(x)的最小值是________.解析:f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).∵cosx+1≥0,∴当cosx<时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当cosx>时,f′(x)>0,f(x)单调递增.∴当cosx=,f(x)有最小值.又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),∴当sinx=-时,f(x)有最小值,即f(x)min=2××=-.答案:-8.[2019·山

8、东淄博模拟]已知函数f(x)=ex,g(x)=ln+,对任意a∈R,存在b∈(0,+∞),使f(a)=g(b),则b-a的最小值为________.解析:令y=ea,则a=lny,令y=ln+,可得b=2e,令h(y)=b-a,则h(y)=2e-lny,∴h′(y)=2e-.显然,h′(y)是增函数,观察可得当y=时,h′(y)=0,故h′(y)有唯一零点.故当y=时,h(y)取得最小值,为2e-ln=2+ln2.答案:2+ln2三、解答题9.[2018

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