2020高考数学第二章函数导数及其应用课时作业15导数与函数的极值最值文.docx

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1、课时作业15　导数与函数的极值、最值[基础达标]一、选择题1．函数y＝的最大值为(　　)A．e－1　　B．eC．e2D.解析：令y′＝＝0，解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00，所以y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.答案：A2．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　)A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析：设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，则x∈(

2、0,5)，则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，所以y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或(舍去)，所以ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：C3．[2019·山东省，湖北省部分重点中学质量检测]已知函数f(x)＝xlnx－x2－x有极值，则实数m的取值范围是(　　)A.B.C.D.解析：通解　f(x)＝xlnx－x2－x，则f′(x)＝lnx－mx.函数f(x)有极值，即f′(x)＝lnx－mx有变号零点，即函数g(x)＝与函数y＝m在(0，＋

3、∞)上的图象有交点(除去相切的情况)．因为g′(x)＝，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝＝，画出函数g(x)的大致图象，如图所示，若g(x)＝与y＝m的图象有交点(除去相切的情况)，则m<，故选B.优解　当m＝0时，f(x)＝xlnx－x，f′(x)＝lnx，当01时，f′(x)>0，故f(x)＝xlnx－x在x＝1处取得极值，符合题意，排除A，C；当m＝时，f(x)＝xlnx－x2－x，f′(x)＝lnx－

4、x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－，当00，当x>e时，g′(x)<0，故g(x)≤g(e)＝0，即f′(x)≤0，f(x)单调递减，无极值，排除D.故选B.答案：B4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)解析：由条件可知当01时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，函数递增，所以当x＝1时，函数取得极小值．

5、当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，函数递增，当－10，所以f′(x)<0，函数递减，所以当x＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C项．答案：C5．[2019·武汉市武昌区高三调研]若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(0,2)上既有极大值又有极小值，则c2＋2bc＋4c的取值范围是(　　)A.B.C.D．(0,1)解析：依题可知，f′(x)＝x2＋bx＋c在(0,2)上有两个不同的零点，则有即则0

6、)2－4]2.∵－4

7、，则f(x)的最小值是________．解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当cosx>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当cosx＝，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2××＝－.答案：－8．[2019·山

8、东淄博模拟]已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln＋，对任意a∈R，存在b∈(0，＋∞)，使f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为________．解析：令y＝ea，则a＝lny，令y＝ln＋，可得b＝2e，令h(y)＝b－a，则h(y)＝2e－lny，∴h′(y)＝2e－.显然，h′(y)是增函数，观察可得当y＝时，h′(y)＝0，故h′(y)有唯一零点．故当y＝时，h(y)取得最小值，为2e－ln＝2＋ln2.答案：2＋ln2三、解答题9．[2018