2019版高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 15 导数与函数的极值、最值课时作业 文

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1、课时作业15　导数与函数的极值、最值一、选择题1．(2018·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)A．y＝x3　　B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋解析：由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．答案：D2．函数y＝的最大值为(　　)A．e－1B．eC．e2D.解析：令y′＝＝0，解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00，所以y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.答案：A3．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成

2、一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　)A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3解析：设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，则x∈(0,5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，所以y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或(舍去)，所以ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：C4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)解析：由条件可知当01时，xf′(x)>0

3、，所以f′(x)>0，函数递增，所以当x＝1时，函数取得极小值．当x<－1时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0，函数递增，当－10，所以f′(x)<0，函数递减，所以当x＝－1时，函数取得极大值．符合条件的只有C项．答案：C5．已知函数f(x)＝－k，x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围(　　)A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)解析：f′(x)＝－k＝(x>0)．设g(x)＝，则g′(x)＝，则g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y

4、＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选A.答案：A二、填空题6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，即解得或而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.答案：187．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为________cm.解析：设圆锥的体积为Vcm3，高为hcm，则V＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，由V′＝0

5、，得h＝.所以当h＝cm时，V最大．答案：8．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是________．解析：依题意，f(x)的单调递减区间为(－1,1)，由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，可得a＝1，由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，可得1－3＋b＝2，故b＝4.所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.答案：6三、解答题9．(2018·湖北七市(州)协作体联考)设n∈N*，a，b∈R，函数f(x)＝＋b，已知曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－

6、1.(1)求a，b；(2)求f(x)的最大值．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.∴f′(1)＝a，又切线斜率为1，故a＝1.由曲线y＝f(x)过点(1,0)，有f(1)＝b＝0.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知f(x)＝，f′(x)＝.令f′(x)＝0，即1－nlnx＝0，解得x＝e.当00，得f(x)在(0，e)上是增函数；当x>e时，有f′(x)<0，得f(x)在(e，＋∞)上是减函数．故f(x)在x＝e处取得最大值f(e)＝.10．(2018·襄阳模拟)已知函数f(x)＝x2－x，g(x)＝lnx.(1)求函数y＝f(x)－g(x)的极

7、值；(2)已知实数t∈R，求函数y＝f(xg(x)－2)，x∈[1，e]的值域．解析：(1)因为y＝f(x)－g(x)＝x2－x－lnx，所以y′＝2x－1－＝＝.因为x>0，所以当01时，y′>0，即函数y＝f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数y＝f(x)－g(x)有极小值0，无极大值．(2)y＝f(xg(x)－2)＝(xlnx－