2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题考点集训文

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1、第18讲　导数与函数的综合问题考点集训　【p187】A组1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)A．150B．200C．250D．300【解析】由题意可得，当年产量为x时，总成本为C(x)＝20000＋100x，∴总利润P(x)＝则P′(x)＝令P′(x)＝0得x＝300，因为当0≤x＜300时，P′(x)＞0，当x＞300时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，利润最大，故选D.【答案】D2．若对于R上的可导函数f(x)满足(

2、x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)A．f(0)＋f(2)＜2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)＞2f(1)【解析】当x＞1时，f′(x)≥0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x＜1时，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)的最小值为f(1)，必有f(0)＋f(2)≥2f(1)；若函数y＝f(x)为常数函数，则f′(x)＝0，则f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C.【答案】C3．已知函数f＝kx2－lnx，若f>0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是(　　)A.B

3、.C.D.【解析】由题意得f>0在函数定义域内恒成立，即kx2－lnx>0在(0，＋∞)上恒成立，即k>在(0，＋∞)恒成立，设g＝，则g′＝＝，当x∈(0，)时，函数g单调递增；当x∈(，＋∞)时，函数g单调递减，所以当x＝时，函数g取得最大值，此时最大值为g＝，所以实数k的取值范围是，故选D.【答案】D4．把长为60m的铁丝围成矩形，当长为______________m，宽为____________m时，矩形的面积最大．【解析】设矩形的长为xm，则宽为(30－x)m，矩形面积S＝30x－x2(0

4、5时，S取得最大值．故答案为：15；15.【答案】15　155．已知函数f(x)＝5x＋sinx，x∈(－1，1)，若f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围是__________．【解析】∵f＝5x＋sinx，函数为奇函数；又f′(x)＝5＋cosx＞0，∴f(x)在(－1，1)上单调递增．所以不等式f(1－x)＋f(1－x2)<0转化为f(1－x)<－f(1－x2)＝f.∴解不等式得1

5、x≥－x2＋ax－3对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.【答案】(－∞，4]7．已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋5.(1)求函数f(x)的图象在点(3，f(3))处的切线方程；(2)若曲线y＝f(x)与y＝2x－m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．【解析】(1)∵函数f(x)＝x3－x2＋2x＋5，∴f′

6、(x)＝x2－3x＋2.∴f′(3)＝2，f(3)＝.∴f(x)在(3，f(3))处的切线方程是y－＝2(x－3)，即4x－2y＋1＝0.(2)令f(x)＝2x－m，即x3－x2＋2x＋5＝2x－m，∴x3－x2＋5＝－m.设g(x)＝x3－x2＋5，则g′(x)＝x2－3x.∵曲线y＝f(x)与y＝2x－m有三个不同的交点，∴函数y＝g(x)与y＝－m有三个不同的交点，令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝3，当x<0或x>3时，g′(x)>0，当0

7、＝5，g(3)＝，即g(x)极大值＝5，g(x)极小值＝，∴<－m<5.即实数m的取值范围为－50，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为

8、f＝ln－1－.所以f(x)≤－－2等价于ln－1－