2020版高考数学总复习第七篇立体几何与空间向量（选修_1）第6节空间向量的运算及应用应用能力提升

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1、第6节　空间向量的运算及应用【选题明细表】知识点、方法题号空间向量的线性运算2,11共线定理、共面定理的应用1,4,6,8,9,10,13空间向量数量积的应用3,5,7,11,13,14基础巩固(建议用时:25分钟)1.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.

2、其中正确命题的个数是(　A　)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确.综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.2.如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于(　B　)(A)a

3、-b+c(B)-a+b+c(C)a+b-c(D)a+b-c解析:=++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c.故选B.3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　D　)(A)1(B)(C)(D)解析:依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k

4、a

5、2-ka·b+2a·b-

6、b

7、2=0,而

8、a

9、2=2,

10、b

11、2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=.故选D.4.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,

12、6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于(　B　)(A)9(B)-9(C)-3(D)3解析:由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以解得λ=-9.故选B.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(　C　)(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2解析:如图,设=a,=b,=c,则

13、a

14、=

15、b

16、=

17、c

18、=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.=(a+b),=c,所以·=(a+b)·c=(a·c

19、+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.6.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=　　　　. 解析:=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),由题意得∥,所以==,所以m=0,n=0,所以m+n=0.答案:07.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是　　　　. 解析:=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),·=-7,

20、

21、=,

22、

23、=,所以cosθ==-,又

24、因为θ∈[0,π],所以θ=π.答案:π8.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则满足DB∥AC,DC∥AB的点D的坐标为　　　　　. 解析:设点D(x,y,z),易知=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0),因为DB∥AC,DC∥AB,所以∥,∥,则解得所以D(-1,1,2).答案:(-1,1,2)能力提升(建议用时:25分钟)9.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点(　B　)(A)一定不共面(B)一定共面(

25、C)不一定共面(D)无法判断解析:因为=++,且++=1.所以P,A,B,C四点共面.10.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则

26、

27、为(　A　)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z),因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,,),所以

28、

29、==a.11.(2018·

30、上海交大附中模拟)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,16)是上、下底面上其余十六个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为　　　　　　. 解析:由题意得,=+(i=1,2,…,8),则·=·(+)=

31、

32、2+·,因为⊥,所以·=

33、

34、2=1,所以·(i=1,2,…,8)的不同的值的个数为1.答案:112.(2017·江苏徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当·