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1、用空间向量解决立体几何中的平行、垂直和夹角、距离问题一。知识再现空间向量：(1)空间直角坐标系(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式(1)空间直角坐标系zxyoA(x,y,z)(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式OjikXYZAB二.两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是zxyAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.αnab
2、nα求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.2、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.ABCDOA1B1C1D1zxy1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.练习1三、建立空间坐标系利用现有三条两两垂直的直线注意已有的正、直条件相关几何知识的综合运用xABC1CA1B1正三棱柱
3、zyxyPBCDA正四棱锥zABCD正三棱锥xyz长方体四、常用公式：1、求线段的长度：2、平行3、垂直4、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）5、求直线l与平面所成的角：，(为的法向量)6、求两异面直线AB与CD的夹角：7、求二面角的平面角:(为二面角的两个面的法向量）8、求二面角的平面角:（射影面积法）9、求法向量：①找；②求：设为平面内的任意两个向量，为α的法向量则由方程组可求得法向量．垂直与平行的证明直线与直线的平行直线与直线的垂直直线与平面的平行共面向量的充要条件与平面的法向量垂直直线与平面的垂直垂直于平面内不共线的两个向量平面与平面的平行两个平面的法
4、向量平行平面与平面的垂直两个平面的法向量垂直设直线l，m的方向向量分别为，，根据下列条件判断l，m的位置关系：练习2直线与直线的平行与垂直平行：共线向量的充要条件垂直：向量垂直的充要条件lmlm例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD证明：设依题意有，于是∵∴CC1⊥BD题型一：线线垂直例2.已知正三棱柱 的各棱长都为1， 是底面上 边的中点， 是侧棱 上的点，且 ，求证： 。解1：向量解法设 ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得你能建
5、立直角坐标系解答本题吗？题型一：线线垂直解2：直角坐标法。取由已知条件和正三棱柱的性质，得AMBC,如图建立坐标系m-xyz。则XYZG例2已知正三棱柱 的各棱长都为1， 是底面上 边的中点， 是侧棱 上的点，且 ，求证： 。题型一：线线垂直直线与平面的平行与垂直设直线l的方向向量分别为，平面α的法向量为，平面α内两不共线向量，且lα平行：①共面向量的充要条件②垂直：①垂直于平面内不共线的两个向量②llABDCA1B1D1C1例3.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1//面A1C1EEFxyz即题型二：线面平行FEXYZ评注：本题若用一般法证明，容
6、易证A’F垂直于BD，再证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。题型三：线面垂直A1C1B1ACBEDzxy题型：线面平行、垂直平面与平面的平行与垂直设平面α、β的法向量分别为平行：垂直：练习2：设平面，的法向量分别为，，根据下列条件判断，的位置关系：XYZ题型四：面面平行例7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证：面AED⊥面A1FD1zxy证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),D(0,2,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2),F(1,2
7、,0),设平面AED的法向量为n1=(x，y，z)得取z=2，得n1=(-1，0，2)同理可得平面A1FD1的法向量为n2=(2，0，1)∵n1·n2=-2+0+2=0∴面AED⊥面A1FD题型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1三种角的计算异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角数量积：夹角公式：线线角复习线面角二面角小结引入求下列两个向量夹角的余弦值（1），（2）.异面直线所成角的计算异面直线所成角的范围：思考：结论：题型一：线线角线线
