高考数学第十一篇复数、算法、推理与证明（选修1_2）第4节直接证明与间接证明习题

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1、第4节　直接证明与间接证明【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,6,10,11分析法3,4,8,12反证法2,5,7,9,13基础巩固(时间:30分钟)1.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是(　A　)(A)a>b>c(B)b>c>a(C)c>a>b(D)a>c>b解析:因为a=-=,b=-=,c=-=,且+>+>+>0,所以a>b>c.故选A.2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设(　B　)(A)三个内角都不大于60°(B)三个内角都大于60°(C)三个内角至多有一个大于60°(D)三个内角至多有两个大于60°3.已知a>b>0,证明-<可

2、选择的方法,以下最合理的是(　B　)(A)综合法(B)分析法(C)类比法(D)归纳法解析:首先,排除C,D.然后,比较综合法、分析法.我们选择分析法,欲证-<,只需证<+,即证ab>c,且a+b+c=0,求证0(B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0解析:由题意知0⇐(a-c)(2a+c)>

3、0⇐(a-c)(a-b)>0.5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,

4、a

5、+

6、b

7、<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设

8、x1

9、≥1.以下正确的是(　D　)(A)①与②的假设都错误(B)①与②的假设都正确(C)①的假设正确;②的假设错误(D)①的假设错误;②的假设正确解析:反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.6.(2017·山东青岛模拟)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(　D　)(A)都

10、大于2(B)都小于2(C)至少有一个不大于2(D)至少有一个不小于2解析:因为a>0,b>0,c>0,所以(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.选D.7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是　. 答案:a,b都不能被5整除8.+与2+的大小关系为　　　　. 解析:要比较+与2+的大小,只需比较(+)2与(2+)2的大小,只需比较6+7+2与8+5+4的大小,只需比较与2的大小,只需比较42与40的大小,因为42>40,所以+

11、>2+.答案:+>2+能力提升(时间:15分钟)9.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是(　C　)(A)②③(B)①②③(C)③(D)③④⑤解析:若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,a,b中至少有

12、一个大于1.选C.10.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(　A　)(A)A≤B≤C(B)A≤C≤B(C)B≤C≤A(D)C≤B≤A解析:因为≥≥,又f(x)=()x在R上是减函数,所以f()≤f()≤f().所以A≤B≤C.11.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是　　　　. 解析:因为a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=(-)(a-b)=(-)2(+).所以当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.所以a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.答案:a≥0,b≥0且a≠b12.已知△ABC的三

13、个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.证明:要证+=,即证+=3也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又△ABC三个内角A,B,C成等差数列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.13.设数列{an}是公比为q的等比