高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学案

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1、2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.知识点一 双曲线的几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴;线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y=±xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞)知识点二

2、 等轴双曲线思考 在双曲线标准方程中,若a=b,其渐近线方程是什么?答案 y=±x.梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是y=±x.1.双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.( × )2.双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.( √ )3.方程-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.( × )4.等轴双曲线的离心率为.( √ )类型一 双曲线的几何性质例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 将9y2-4x2=-

3、36化为标准方程-=1,即-=1,∴a=3,b=2,c=.因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0),焦点为F1(-,0),F2(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e==,渐近线方程为y=±x=±x.反思与感悟 讨论双曲线的几何性质,先要将双曲线方程化为标准形式,然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.跟踪训练1 求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.考点 双曲线的几何性质题点 由双曲线的方程研究几何性质解 将方程x2-3y2+12=0化为标准方程-=1,∴a2=4,b2=12,∴a=2,b=2,∴

4、c===4.∴双曲线的实轴长2a=4,虚轴长2b=4.焦点坐标为F1(0,-4),F2(0,4),顶点坐标为A1(0,-2),A2(0,2),渐近线方程为y=±x,离心率e=2.类型二 由双曲线的几何性质求标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2);(2)与双曲线-=1具有相同的渐近线,且过点M(3,-2);(3)过点(2,0),与双曲线-=1离心率相等;(4)与椭圆+=1有公共焦点,离心率为.考点 双曲线性质的应用题点 由双曲线的几何性质求方程解 (1)方法一 由题意可设所求双曲线方程为4x2-9y2=λ

5、(λ≠0),将点(1,2)的坐标代入方程解得λ=-32.因此所求双曲线的标准方程为-=1.方法二 由题意可设所求双曲线方程为-=1(mn>0).由题意,得解得因此所求双曲线的标准方程为-=1.(2)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).由点M(3,-2)在双曲线上,得-=λ,λ=-2.故所求双曲线的标准方程为-=1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为-=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1;当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为-=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去).综上

6、可知,所求双曲线的标准方程为-y2=1.(4)方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(-3,0),(3,0),即c=3且焦点在x轴上.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).因为e=1==,所以a=2,则b2=c2-a2=5,故所求双曲线的标准方程为-=1.方法二 因为椭圆焦点在x轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(16<λ<25).因为e=,所以=-1,解得λ=21.故所求双曲线的标准方程为-=1.反思与感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六

7、种方法与技巧.①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为-=1(a>0,b>0).③与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(λ≠0,-b2<λ

8、等分;(3)焦点在x轴上

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