高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学案

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1、2.2.2　双曲线的简单几何性质第1课时　双曲线的简单几何性质学习目标　1.了解双曲线的简单性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一　双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二

2、　等轴双曲线思考　在双曲线标准方程中，若a＝b，其渐近线方程是什么？答案　y＝±x.梳理　实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　√　)3．方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　×　)4．等轴双曲线的离心率为.(　√　)类型一　双曲线的几何性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的几何性质题点　由双曲线的方程研究几何性质解　将9y2－4x2＝－

3、36化为标准方程－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.反思与感悟　讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．考点　双曲线的几何性质题点　由双曲线的方程研究几何性质解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴

4、c＝＝＝4.∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4.焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.类型二　由双曲线的几何性质求标准方程例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.考点　双曲线性质的应用题点　由双曲线的几何性质求方程解　(1)方法一　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ

5、(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．综上

6、可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.(4)方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为e＝1＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1.反思与感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的六

7、种方法与技巧．①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ

8、等分；(3)焦点在x轴上