高中数学第二章双曲线课时提升作业（十四）双曲线方程及性质的应用检测（含解析）

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1、课时提升作业(十四)双曲线方程及性质的应用(25分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线l过点(,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有　(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.【解析】选C.点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.2.(2015·温州高二检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12

2、,-15),则E的方程为　(　　)A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.【解析】选B.由c=3,设双曲线方程为-=1,kAB==1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,①-=1,②①-②,得-=0,又N(-12,-15)为AB中点,所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以=.所以==1.所以a2=4.所以双曲线方程为-=1.3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,

3、AB

4、为C的实轴长的2倍,则C的离心率为　(　　)A.B.C.2D.3【解题指南】用a,b表示

5、AB

6、,由

7、AB

8、

9、=4a求a,b的等量关系,进而求离心率.【解析】选B.由题意不妨设l:x=-c,则

10、AB

11、=,又

12、AB

13、=2×2a,故b2=2a2,所以e===.4.(2015·西安高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是　(　　)A.B.C.D.【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.5.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率

14、e的取值范围是　(　　)A.(1,+∞)B.(1,2]C.(1,]D.(1,3]【解析】选D.依题意知

15、PF1

16、-

17、PF2

18、=2a,==4a++

19、PF2

20、≥8a,当且仅当=

21、PF2

22、时等号成立.此时

23、PF2

24、=2a,

25、PF1

26、=4a,因为

27、PF1

28、+

29、PF2

30、≥2c.所以6a≥2c,即1

31、的交点坐标为.答案:【补偿训练】过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,则

32、AB

33、=　　　　.【解析】直线为y=x+1,与双曲线联立得得3x2-2x-5=0.所以x1+x2=,x1x2=-,所以

34、AB

35、=·=.答案:7.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围为　　　　.【解题指南】借助双曲线与渐进线的关系,数形结合求解.【解析】双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,若直线与双曲线相交,数形结合,得k∈.答案:8.(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A,当△APF周长最小时,该三角形的面积为　　　　　　　　.

36、【解题指南】△APF周长最小时,P点是点A与双曲线C:x2-=1的左焦点的连线与双曲线的交点.【解析】由已知a=1,b=2,c=3,所以F(3,0),F′(-3,0),又A,所以

37、AF

38、==15,△APF周长l=

39、PA

40、+

41、PF

42、+

43、AF

44、,又

45、PF

46、-

47、PF′

48、=2,所以

49、PF

50、=

51、PF′

52、+2,所以l=

53、PA

54、+

55、PF′

56、+2+15≥

57、AF′

58、+17=32,当且仅当A,P,F′三点共线时,△APF周长最小,如图所示.设P(x,y),直线AF′的方程为+=1,联立得消去x得y2+36y-96=0,解得y=-8(舍)或y=2,则P(x,2).因为S△APF=S△AF′F-S△P

59、F′F=×6×6-×6×2=12.答案:12三、解答题(每小题10分,共20分)9.经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点.(1)求直线l的方程.(2)求线段AB的长.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得--=0,(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,kl==4,所以l的方程为y