运用数形结合思想求解二次函数利润问题

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1、运用数形结合思想求解二次函数利润问题数学符号，包含了约定符号、缩写符号及象形符号三种•不同符号可以依照数学所具有的规则以及逻辑含义进行组件，可以形成相应的式子或者符号串，从而产生数学句子或数学式的语言内容.而这里的“形”，也不仅是数学小常见的儿何图形，还有表格、代数中的数轴、函数图象、概率中的树状图等等一些图标形式.这些都是数学形象思维的中介内容和载体内容，也是数学思维之中的结果以及重要的材料内容.同吋，还能够作为i种运用工具，进一步的展开抽象思维.那么，如何把“数”与“形”结合起來?下面，以二次函数利润问题为例加以阐述.案例1

2、某商店购进一种单价为40元的篮球，若以单价50元岀售，则每月可售岀500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，问当篮球售价定为多少时，每月利润最大，为多少元？这是在二次函数中出现频率较高的一道题，曾经也不止一次在公开课中听过不同版本的讲解.能不能把这道实际屮较抽象的问题形象化、具体化，让学生更快、更准的掌握这道题?笔者想到了数形结合思想.可以进行如下的设计：（1）假设你是店主，你怎样理解“售价每提高1元，销售量相应减少10个”？抓住题目屮较关键的“文字语言”，深刻理解较关键的“文字语言”，把这些“文字语言”与实

3、际生活联系起来，使这些抽象的“文字语言”生活化，形象化.售价销售量T1元J10个f2元H)T3元1()14元1()T%元（后填入）110%个（后填入）其中“f”代表提高、涨价；“！”代表减少、降价，在这里笔者设计了以上图表，用最简单的数字规律，让学生直观的看到销售量与售价涨幅之间的关系•教学中发现学生很容易得到20个,30个,40个,但20个，30个,40个并不是我们想耍的，笔者填入的是10x2,10x3,10x4,强调销售量与售价涨幅之间的倍数关系，把题目屮的“售价每提高1元，销售量相应减少1（）个”这句数字语言转化为图表形式

4、.设汁意图让学生从实际出发，从简单的数出发，用图表形式直观的观察得出，销售量与售价涨幅之I'可的数量关系・（体现从“数”到“形”）（2）假设销售单价捉高无元.从数字出发，引入变量X,学生很容易由表1通过类比法得出销售量与售价涨幅兀之间的数量关系.这样仅仅找出了销售量与单价涨幅X之间的数量关系，还不完整.f兀元/10兀个（在上表中补充）故销售量是在原来数量的基础上，减少10x个，即本题中（500-1Ox）.（完成从“形”到笔者又设计了以下图表，把整个一道题都用图表呈现岀来，同学们戏称为“井字格”.每个利润数量原來现在上表对于此类二

5、次函数利润问题可以通用，“每个利润”有可能是卖水果时每千克利润,买衣服时每件利润等等；“数量”可能是销售量及其他数量个数关系；“原来”指涨(降)价前的商品有关量；“现在”指涨(降)后的商品有关量•学生只要会填写此表，这类利润问题不在话下.上述“井字格”表是解决二次函数利润问题的“万能钥匙”•就此题而言，每个利润书写时强调(50-40)元，涨价是在50元基础上涨x元，故售价为(50+兀)元，所得每个利润为E(50+x)-40］元;销售量:原来500个，涨价后减少了10无个，故为(500-1Ox)个。其中(50-40)元，［(50+

6、兀)-40］元，强调解题中所体现的过程信息量.比直接书写10元，10+兀元，对于学生接受、理解更好一些.每个利润数量原来50-40500现在（50+兀）—40500-10%其中，学生最难得到的是(500-1Ox)这个部分.(又一次从“数”到“形”)而篮球总利润用y表示，则y二［(50+x)—40］(500—10x)(从“形”到“数”)=一10宀400兀+5000=—10(无一20尸+9000(顶点式),.••当x=20时，y最大值为9000元，至此，这道题就做完了.但是作为教师知道，此时直接用顶点坐标求最值欠妥当.我们知道，二次

7、函数在很多情况下，最大值并不能取到顶点处，这与函数的自变量兀的取值范围有关.为了进一步说明问题，笔者又设计了问题(3)、(4),使利润最值问题更具体化.(3)假设物价部门规定，篮球售价不得高于每个65元，求当篮球售价定为多少元时，每月利润最大？(4)当每月利润不低于8840元吋，求出篮球售价的取值范围.问题(3),对篮球售价作出了限制;问题(4)对每月利润y作出限制.如何解决不高于、不低于的问题?我们想到了二次函数的图象，能否把上述的数学语言反映在图象上？向题（3）,售价不得高于65元，即50+x<65,仅有此式不行，必须保证同

8、时有利润、有销售量.50+x<65<50+乳一40no500-10x>0解得到0