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1、运用数形结合思想解决问题ApplicationofcombinationofQuantitiesandSpatialFormsinsolvingproblems作者刘萍萍摘要：数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，因此数形结合思想在中学教学中起着举足轻重的作用。本文针对解决不同类型的数学问题给出了对应详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣、提高学生的解题能力和培养学生思维能力。[Abstract]Combiningtheoperationwithfigureisthestu
2、dyofmathematicslearningtheimportantthinkingandproblemsolvingmethods.Socombiningtheoperationwithfigureisthestudyofmathematicsandlearningtheimportantthinkingandproblemsolvingmethods.Thentherelatedexamplesareproposedforstobetterunderstandthecombinationofquantitiesandspati
3、alforms.Theresearchoncombinationofquantitiesandspatialformscanarousestudents’learninginterest,improvetheskillofsolvingmathematicalproblemsanddevelopthestudents’creativity.关键词：数形结合转化解题[Keywords]NumeralFormCombinationTransformSolveproblems“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾
4、体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求圆锥曲线问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题
5、，可以化抽象为具体，效果事半功倍。(一)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例1:已知集合A=[0,4],B=[-2,3],求A∩B。分析:对于这两个有限集合,我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚的知道结果。如图1,由图我们不难得出A∩B=[0,3]。图1例2：某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下：①40个学生每人都至少解出一道题②在没有解出第一道题的学生中，图2解出第二道题的人数是解出第三
6、道题人数的2倍③仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个④仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解.解答设集合A={解出第一道题的学生数}，集合B={解出第二道题的学生数}，集合C={解出第三道题的学生数}，如图2，可得解之得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10所以仅解出第二道题的学生有10
7、个，解出第一道题学生有21个.(二)、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例3:对于xR,y取4-x,x+1，(5-x)三个值的最小值。求y与x的函数关系及最大值。分析：在分析此题时,要引导学生利用数形结合思想,在同一坐标系中,先分别画出y=4-x,y=x+1,y=(5-x)的图像，如图3。易得:A(1,2)，B(3,1),分段观察函数的最低点，故y与x的函数关系式是:y=图3它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可
8、以求得,当x=1时,y的最大值是2。例4:若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0,求f(x)<0的x的范围。解:由偶函数的性质,y=f(x)关于y轴对称,由y=f(x)在(-∞,0)上为减函数,且
