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1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练对合矩阵系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号：2009031121学生姓名：陈付平成绩：2012年6月对合矩阵陈付平长沙学院信息与计算科学系，湖南长沙,410022摘要：对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义关键词：对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换引言：对合矩阵是举阵中的一类矩阵，它在代数数学中有着广泛的应用，本文通过对对合矩阵的介绍，了解对合矩阵的判断以及对合矩阵的几何意义。1对合矩阵的定义：矩阵4满足条件A2=E,则称A是对合矩阵。2对合矩阵的判断设4为nxn矩阵，则下列条件都是A为对合矩阵的充
2、要条件：(1)A=(2)为对合矩阵。(3)川为对合矩阵。(4)秩粗+司+(A-E)=n(⑴p2083)飞_秩(“0、(5)矩阵A相似于形如I0优-秩E)丿的方阵。(注：此处[K]K二1,2,・・・6・表命题出处，见参考文献)下而我们分别对上述几个命题进行证明：证明(1)：由对合矩阵的定义，显然成立。证明(2)：4为对合矩阵oA=4“oA"为对合矩阵。证明(3)：=>A为对合矩阵，即A2=EO则A2=
3、A
4、2=
5、e
6、=1证明（4）：考察矩阵A*=
7、A
8、A-1=AA(由(D)(A*)2=(
9、A
10、A)2=A"A2=A2=E即？T为对合矩阵。2U/T为对合矩阵，即(/T)=E
11、GE=1,又A=AI=1有A=1(*)式两端同时式乘以4,右乘以A,得右边=AEA=A即A2=EA为对合矩阵。(A+E0彳忙I0A-E）（*）式作分块矩阵的初等变换'A+E0>'A+E0>'A+E0、->.°A—E丿/+E1E)、2EA-E^对(°G4+E)(A-E)「(0(A+E)(A-E)](0A2-E^T2T2T工0)k2EA-E?OE0)由初等变换不改变矩阵的秩0、‘0A2-EyA-E丿&o丿心）=即秩阳秩）秩-E+E=A2-E]+n(A-E)=n所以A2=EA2—E=0秩(A?—E)=0o秩稱+E)+在证明命题（5）之前，先证明儿个命题：命题1、矩阵4?的特征值
12、等于（考虑它们的重数）矩阵A的特征值的平方。（[3]P1821126）证明：设4的所以特征值为人，〈，•…入有—A
13、=(2-入)(2_希)…(2_&)
14、2E+A
15、=(2+2i)(2+22)---(2+2.)可知的=(才_&2)(兄2_剧...(兄2_盂)则“E—用=(2—人2)(2_尤)…(2_晋)证毕。命题2、若A为对合矩阵，则A的特征值为+1或一1.([2]P2167(2))证明：设2是A的一个特征值则Q2是A2=E的一个特征值有22=1,因而2=±1反之人的特征值为+1或-1不能推出A为对合矩阵(11)反例：A=A的特征多项式为AE-A=<2-1-1j02-1（2
16、-I）'=0则4的特征值为1(2重)P1]〔11、<12、<0L<01丿3bf-1一1)同理，有3=的特征值为T(2重)，但B2E<101。0、i丿c=110的特征值为T(2重，但C^E(00-L命题3、若矩阵A适合A2=En,则A必可对角化。(⑵P22110(1)))证明：A2=En,则4的特征值为+1或-1。它们相应的特征子空间为o考察齐次线性方程组(E—4)X=0禾口(E+4)=0,它们的解空间分别为X和匕1。则维株詔隹秩(E-A)上1=〃-(E+A)由(4)秩楸+E)+(A-E)=n知维堆+=n特征子空间的非零向量均为特征向量，知A有n个线性无关的特征向量。则A可对
17、角化。另证：A2=E,则A2—E=0令g(2)=/-1=(2+1)(2-1)有g(A)=04的最小多项式/n(2)有m(2)lg(2)进而4的初等因子都是一次的，说明4可对角化。由以上两个命题，可得，任一对合矩阵必相似于形如的方阵秩(E+A))证明(5)：二已证。u矩阵4相似于Ql秩(E-A)0E—秩(E+A)丿即m可逆矩阵P,使得A=P'{飞-秩(E-A)0En-秩(E+A)丿则A2=P'1=严1E“PP1秩(E+A)秩(E+A)F0、Q/z-秩(E-A)秩(E-A)UnFU匚―秩(E+A)秩用+A)(En-(En-E77-=P-'EP=P—'P=EA为对合矩阵。命题4、
18、设A,B都是对合矩阵，则积AB是对合矩阵的充件条件是A与B可交换。([4]P508508）证明：=>设43是对合矩阵即有E=（43）（43）=两端左乘以4,右乘B,由A2=B2=E,得ab=a2（ba）b'=ba<=AB=BA等式两端同时乘以AB,（AB）1=BA・AB=B（A2）B=BEB=B2=E即AB^对合矩阵。命题5、与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵。证明：对合矩阵4,设矩阵3与4相似，即弓可逆矩阵使得B=T“AT则B2=（T_1AT）2=（T_1AT）（T_1AT）=T_,A2T=T'XET=E即B为对合
