数学与应用数学毕业论文-关于对合矩阵的一些秩等式

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1、莆田学院毕业论文题目关于对合矩阵的一些秩等式学生姓名学号专业数学与应用数学班级数学051指导教师二00九年五月十日目录0引言（1）1对合矩阵的秩等式（2）2幂等矩阵的秩等式（7）结束语（8）致谢（9）参考文献（9）傅奇平关于对合矩阵的一些秩等式关于对合矩阵的一些秩等式（数学与应用数学专业指导教师：）摘要：在矩阵理论中，幂等矩阵和对合矩阵起着很重要的作用.田永革对它们进了深刻的研究，并得到一些有意义的秩等式.通过这些秩等式，本文推出一些新的有关对合矩阵的秩等式.关键词：幂等矩阵对合矩阵秩等式Abstract:Itisknownthat

2、theidempotentandinvolutorymatricesplayveryimportantroleinmatrixtheory.YonggeTianhasdothefutherstudyinthem,andobtainalotofusefulrankinequalities.Throughtheserankinequalities,thispaperderiveavarietyofnewrankinequalityforinvolutorymatrices.Keywords:IdempotentmatrixInvolut

3、orymatrixRankinequality0.引言下面介绍一些必要符号与预备定理：用表示复数域上的所有矩阵组成的集合，表示上所有列向量组成的集合，表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩，表示的广义逆.若，，称为幂等矩阵；若，称为对合矩阵.引理设，，，且都是幂等矩阵，即,则满足下面两个秩等式：（1）（2）引理设，，且都是幂等矩阵，即,则满足秩等式，（3）引理，，且都是对合矩阵，即,则9傅奇平关于对合矩阵的一些秩等式引理设，，，且都是幂等矩阵，即,则满足下面两个秩等式：（4）（5）（6）0.对合矩阵的秩等式当矩阵是对合矩阵时，由高代知识知，对

4、合矩阵的特征值为，故对合矩阵是一个可逆矩阵.对合矩阵和幂等矩阵有着非常紧密的联系，事实，对任意矩阵，矩阵是幂等矩阵.另外，对任意的幂等矩阵，矩阵是对合矩阵.对合矩阵是满秩矩阵.因此幂等矩阵的有关结果可以推广到对合矩阵，有下面的定理.定理1.1设，，，且都是对合矩阵，即,则满足下面两个秩等式：（7）（8）证明因为，所以由引理1、2知：是幂等矩阵.又，因此.将代入引理3的（1），（2）式，即由（1）式得：9傅奇平关于对合矩阵的一些秩等式.同理由（2）式得：.证毕.我们注意到，在定理1.1中，令，很容易就可以得到的两个秩等式，即文献[2]

5、定理3.1中的两个秩等式，如下：设是对合矩阵，的秩满足下面两个等式：（9）观察比较会发现，文献[2]定理3.1中的两个秩等式是定理1.1的一个特例，定理1.1更具有一般性，当取不同的值时，可以得到不同的秩等式.推论1.2设，，且都是对合矩阵，即,则（10）（11）证明因为，所以.定理1.1中的秩等式对任意都成立，故对也成立，即由（7）式得9傅奇平关于对合矩阵的一些秩等式由于，,因此.同理由（8）式得（11）式.证毕.我们知道对合矩阵是可逆矩阵，由高代知识知，对任意的矩阵，存在可逆矩阵，使得.因此，,且，有,即.推论1.3设，，,则满

6、足下面两个秩等式：（12）（13）特别地，当时，有（14）（15）证明在定理1中，，，且,成立的秩等式.则对，，且,成立的秩等式，即定理1中（7）、（8）式令，即可得（12）、（13）式.当时，则.又9傅奇平关于对合矩阵的一些秩等式，，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，.又是对合矩阵，则是对合矩阵可逆矩阵，故.因此，由（12）式可得（14）式.由（13）式，因为,而、，则,故.同理可得，.所以，，.代入（13）式即可得（15）式.证毕.推论1.4设，且,则.（16）证明由推论2，当取时，，且,由于都是对合矩阵，故都是可逆矩阵，从而也是

7、可逆矩阵，所以.由（15）式,而，，则可得（16）式.证毕.注意到，由于初等变换不改变矩阵的秩，因此秩等式可以通过高斯块进行初等变换，并结合对合矩阵的性质得到.而在推论3直接利用推论2，也结合对合矩阵的性质，很快就得到，这种方法比通过高斯块方法更简便，其中省了矩阵的计算，避免了不必要的错误.定理1.5，，且，则(17)(18)证明因为是对合矩阵，则是幂等矩阵，则满足引理5，即9傅奇平关于对合矩阵的一些秩等式，即可得（17）式.又是对合矩阵，则是幂等矩阵，由引理5，同理可得（18）式.证毕.定理1.6，，，且，则（19）特别地，当时，

8、有（20）证明定理1.1中是对任意的，，成立的秩等式，则对，，也成立的秩等式.令定理1.1中的，则由（7）式即得（19）式.当时，由（19）式即得（20）式.证毕.在已有文献及本文有关对合矩阵的秩等式的定理及推论，很容易可以推广到更一