对合矩阵的判定及几何意义.doc

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1、对合矩阵设A为nxn矩阵，则下列条件都是4为对合矩阵的充要条件：（I）A=A~l.（2）A"为对合矩阵.（3）4"为对合矩阵.（4）秩（A+E）+秩（A-E）=”（E（）、（5）矩阵A相似于形如”国促A）的方阵.、0E"（e・a）,证明（1）：111对合矩阵的定义,显然成立。（2）：A为对合矩阵<=>4=oA"为对合矩阵。（3）：=>a为对合矩阵，即a2=e.贝ij

2、a2

3、=

4、a

5、2=

6、£

7、=14*=

8、a

9、A'1=aA（由（D）（A"）2=（

10、A

11、A）2=

12、4

13、2A2=A2二E即"为对合矩阵。<=A•为对合矩阵，即（A*）2=E（*）（人丁=A"$=

14、E

15、=1,乂

16、刖=

17、A「'

18、糾4=1有4=1（审）式两端同时式乘以4,右乘以4,紂右边==即A2=E故4为对合矩阵。（A+F0（4）：考察矩阵O对（*）式作分块矩阵的初等变换（0A-E）A+E2E2E(A+E)(A—E)2EA2-E0(A+E)(A-E)2A-E由初等变换不改变矩阵的秩ZA+E0有秩0A-E)二秩屮一小即秩"+£■)+秩"-£)=秩(yf_E)+秩£=秩(A2-E)+n所以A2=E,即a2-E=0q秩(/V一e)=0o秩(A+E)+秩(A-E)=〃(5)：=＞由以上两个命题，可得，任一对合矩阵必相似于形如则A2=秩(E-A)0E—秩(E*A)>F匚幵-秩(E・A)0E—秩(E+A)丿的方阵即

19、m可逆矩阵P,使得A=P^pp-](E>”-秩(E-A)0E—秩(E+A"E”-秩(E-A)0E—秩(E+A)>锂卄)0、0、<0El秩(E+A"1oE“一秩(E+A)?秩(E-A)丿P=P・'EP=P・'P=E=P~'所以4为对合矩阵。命题1、矩阵人‘的特征值等于矩阵A的特征值的平方。证明：设A的所以特征值为入，…入有=—石）（久_易）…（久一入）/RE+A

20、=（2+石）（2+易）…（2+&）可知］”£*_人］=（才_晋）（才_舟）…（才一廿）则A］=（兄_人'）（/1_石）・・・（2_&'）证毕。(1〕r-i-1)命题2、若4为对合矩阵，则A的特征值为+1或一1.讣億：反O、

21、成立：4=冋艸.暫B=2)<0T丿命题3、若矩阵4适合A2=En,则A必可对角化。命题4、设4,〃都是对合矩阵，则积43是对合矩阵的充件条件是A与〃可交换.命题5、与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵。命题6：如果〃是壽等矩阵B'=B,则A=2B-E是对合矩阵。命题7、…方阵如果有下列三个性质中的任何两个性质，则必有第三个性质：对称阵：止交阵：对合阵。例6数域F上的n维向鼠空间V的一个线性变换A叫做对合变换，如果A2=f，•设A是V的一个对合变换.求证：（1）4的特征根只能是±1・（2）V=V1©V1,其中％是A的属于特征根1的特征子空间，匕是A的属于特征根・1的特征子空间•⑷对合变

22、换的儿何盘义：o是线性空间V关于某子空间V；平行于某补子空间岭的反射。换句话说：V=V^㊉岭，并H如果aeVl,a（a）=aiaeV2,cr（a）=-ao例、设V为数域Pl.nxn矩阵，关于矩阵的加法和数乘作成的线性空间。定义变换a（A）=AtV4gVa则O■为上的线性变换，求b的特征值，特征向鼠及Jardon标准形.任意一个矩阵，如果有三个性质（対称矩阵，止交矩阵，対合矩阵）中的任意两个性质，则必有笫三个性质。