矩阵的几何意义线性变换的几何意义

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1、矩阵的几何意义线性变换的几何意义导读：就爱阅读网友为您分享以下“线性变换的几何意义”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!目录一、基本定义和结论1二、几何现象中线性变换的影子2.1旋转变换的几何形象22.2反射变换的几何形象32.3投影变换的几何现象2.4伸压变换的几何形象2.5其他线性变换的几何形象三.线性变换的几何意义与矩阵的几何意义的关四、与线性变换有关的分支问题的几何意义4.1、几何解释线性变换是否存在交换律Lili4.2、几何解释线性变换是否消去律94.3几何解释线性变换的逆104.4同一线性

2、变换下的矩阵相似的几何直观例子104-5线性变换对角化的几何意义114.6正交变换的几何意义114.7线性变换中特征值及特征向量的几何意义11五、具有几何意义的非矩阵表示的线性变换11六、具体问题中线性变换与几何的息息相关12七、射影几何中的线性变换137.1仿射几何中的平移变换137.2仿射变换的优点7.3射影几何中线性变换分解反应出的几何意义14总结16参考文献17致谢18北京师范大学珠海分校应用数学学院一、基本定义和结论我们在讨论这个问题时，首先给出几个熟悉的定义与结论。定义1：设为数域K上的线性空间，亡U?V为映射

3、，且满足以下两个条件:i)、f(???)?f(?)?((,f)?,???)?Uii)、fk(?)fk?(G)???,Uk?K)?；。则称?为(由U到V的)线性映射，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称它为线性变换。而定义中的i)和ii)二条件也可用下述一条代替:?(k??l?)?k?(?)?k?(?)，(??，??U，k，l?K)定义2：设?l,?2,?,?n是数域K上线性空间U的一组基，?l,?2,?,?m是数域K上线性空间V的一组基，设f为由U到V的线性映射，U上基向量的像可由V上的基线性表出：f(?l)?a

4、ll?l?a21?2???aml?m9f(?2)?al2?l?a22?2???am2?m,f(?n)?aln?l?a2n?2???amn?m.于是?all?a21(f(?l),f(?2),?,f(?n))?(?l,?2,?,?m)??99••?amlal2a22?am2???aln??a2n????amn?其中令?all?a21A???amlal2a22?am2???aln??a2n????amn?则称A为f在基?l，?2，?，?n和?l，?2，?，?m下的矩阵，而此时如果f是线性空间U到自身的线性映射，则称A为f在基?l

5、，?2，?，?n下的矩阵。定义3：设U和V是数域P上的两个线性空间，若满足:i）、？是11到V的一个双射;第1页共18页iii入?(?k)???k(Q??,?Uk)?PU；。则称?是U到V的同构映射。此时称U与V是同构的。结论1：线性空间U到V上全体线性映射，对于下面定义的加法和数量乘法，也构成数域K上的一个线性空间，我们记它为Homk(U,V)o(其中f.g为由U到V的两个线性映射)。i入gf(?)f?()?g(?G)??)??V；oii).(f?g())?(?f)?(G)?g?)???V而此时如果f是线性空间U到自身的

6、线性映射，我们则称线空间U上的全体线性变换，对于上面定义的加法和数量乘法，也构成数域K上的一个线性空间，我们记它为End(V)o结论2：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。线性空间的元与其坐标向量之间的对应是同构的，数域P上的n维向量空间U与n维向量空间Pn是同构的。结论3：正交变换是保持点之间距离不变的线性变换。且它在任一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵0二、几何现象中线性变换的影子让我们先在欧式几何中看看，一些几何现象是否具有线性变换的影子？例如一缕阳光照射在物体在地面留下的影子的现象，某一物

7、体发生旋转的现象，用手把一本书沿着一条对称轴翻过去的现象，用手压缩或拉伸某一固定物体的现象。2.1旋转变换的几何形象我们先看旋转，在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转。我们考虑此类变换中的一个例子。我们考虑把平面中每一个向量旋转90?的变换f:R?R22