文献译文-线性变换的几何意义研究

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1、第一章特征值、特征向量和相似性1.3相似性正如在(1.0)节所指出的，中的一个矩阵的相似变换对应于上的一个线性变换在另一个基下的表示。因此研究相似性可看成是研究一个线性变换所固有的性质或它的所有基表示所共有的性质。定义1.3.1设矩阵，如果存在非奇异矩阵,使得则称与相似，而变换称为由相似矩阵确定的相似变换。关系“与相似”有时简记为。命题1.3.2相似是上的一个等价关系，即相似满足(a)自反性：；(b)对称性：推出；(c)传递性：和推出。像任何等价关系一样，相似关系把集合划分成互不相同的等价类。每一个等价

2、类是中相似于某个矩阵（该类的代表）的所有矩阵的集合。在一个等价类中的所有矩阵都相似。而属于两个不同类的矩阵不相似。由于传递性，在任何一个相似矩阵的有限序列中，第一个矩阵和最后一个矩阵在同一个相似等价类中。一个至关重要的结果是，任一个等价类中的矩阵共同具有许多重要性质。定理1.3.3设，如果和相似，那么的特征多项式与的相同。证明：对任意，我们有推论1.3.4如果，且与相似，那么它们有相同的特征值（重特征值按重数计算）。例1.3.5有相同的特征值是相似的必要条件，但不是充分条件，考虑矩阵和每一个都有二重特征

3、值0，但它们不相似。因为对角矩阵特别简单，又有很好的性质，因此有必要知道，对于哪些矩阵，在的相似等价类中存在一个对角矩阵，即该类矩阵相似于对角矩阵。定义1.3.6如果与一个对角矩阵相似，那么就说可对角化。定理1.3.7设，那么，可对角化，当且仅当有个线性无关的特征向量。证明：如果有个线性无关的特征向量，以它们为列作非奇异矩阵，通过计算，其中而是的特征值。反过来，假定存在相似矩阵使得是对角矩阵，于是。这就是说，乘的第列（即的第列）是的第个对角元素乘的第列（即的第列），或者说，的第列是的对应于的第个对角元的

4、特征向量。因此是非奇异的，所以存在个线性无关的特征向量。更注意的是，（1.3.7）的证明原则上是关于对角化一个可对角矩阵的算法：求的各特征值；求相应的各个特征向量（考虑重特征值），然后把它们排成矩阵。如果各特征向量线性无关，那么是一个对角化相似矩阵。但是，我们要着重指出，这只是粗略的分析解释，不是实际的计算方法。附注：如果可对角化，与相似的任一对角矩阵的各对角元必须是的具有适当重数的特征值。此外，线性无关的特征向量（它们组成相似矩阵）必须对应具有适当重数的不同特征值；即，如果是线性无关的特征向量，且，那

5、么，对各指标的某个排列，有。保证可对角化性质可行的一个简单情形是矩阵的各特征值互不相同。这个事实的一个重要前提是下述引理，它还有其他用途：引理1.3.8假定是的两两不同的特征值，而是对应于的特征向量，，那么是线性无关组。证明：证明实质上使用反证法。相反，假设是一个线性相关组，那么存在一个等于0向量的非平凡线性组合，并且实际上有这样一个线性组合，它的非零系数最少，假定这个极小的线性相关关系是因为所有，有。为方便起见，可以假定它包含前个向量（如果必要，可重新编号）。同时，还有另一个相关关系式用乘第一个关系式

6、，然后从第二个关系式中减去它便得到第三个相关关系式它的非零系数比第一个关系式要少。因为，，这最后一个关系式是非平凡的，这就与第一个相关关系式的极小性假设矛盾，因而得证。定理1.3.9如果有个互不相同的特征值，那么可对角化。证明：如果，设是对应于的特征向量。因为特征值都各不相同，根据（1.3.8），是线性无关组，因此，再由（1.3.7）可知，可对角化。矩阵关于乘法一般不交换，但是，如果都是对角矩阵，它们总是可交换的，这后一个结论可以做些推广，有下面的引理。引理1.3.10设和是给定的矩阵，并设是和的直和，

7、那么，可对角化，当且仅当和都可对角化。证明：如果存在非奇异矩阵和非奇异矩阵，使得和都是对角矩阵，那么容易证明是对角矩阵，只要取直和反之，设可对角化，存在非奇异矩阵，使得是对角矩阵。如果用，，表示，那么对，，推出和如果在集合中，无关向量少于个，则矩阵的列秩（因而行秩）将小于。同理，如果在集合中，无关向量少于个，则矩阵的列秩（因而行秩）将小于，在其中一种（或两种）情形下，矩阵的行秩小于；因为是可逆的，所以这是不可能的。因此，在集合中恰有个线性无关的向量，又因为每一个向量都是的特征向量，所以一定可对角化。同理

8、可证矩阵可对角化。定义1.3.11我们说两个可对角化矩阵同时可对角化，存在同一个相似矩阵，使得和都是对角矩阵，即如果存在同一个基，在这个基下，两个线性变换的表示都是对角矩阵。定理1.3.12设可对角化，那么和可交换，当且仅当它们同时可对角化。证明：假定和可交换，在和上同施以一个相似变换使对角化，因而，不失一般性，可以假定是对角矩阵，仍不失一般性，再假定的任一多重特征值相邻地出现在主对角线上。因为（上述的相似变换不会改变这一关系），所以有其中