《线性代数的几何意义》之五(矩阵的几何意义(上)).doc

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1、《线性代数的儿何意义》--图解线性代数■…线性代数的儿何意义Z(5上)任广千编著y1-2-10x2-12010.08.16第1页，共38页《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。——笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。’‘拉格

2、朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。——柏拉图无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。——中国当代数学家徐利治第2页，共38页《线性代数的儿何意义》第五章矩阵的儿何意义通过前而的章节我们初步了解到，解线性方程组的克莱姆法则使用了行列式理论，但克莱姆法则只能用于解方程个数等于未知数个数的方程组，而且系数行列式不能等于0。即使以上条件都满足，也要计算nl个n阶行列式。实际工程中的n一般很人，即使

3、在现代计算机技术面前,计算效率也不能使人满意。在用消元法解各种类型的线性方程组时，一系列问题出现了：当系数行列式等于0时，方程组是否有解？若有解乂如何求出？当未知量个数与方程的个数不等时，线性方程组的解又如何？要深入探讨这些问题除了向量概念外还需要引入矩阵的理论。至U1858年，哈密尔顿(W.R.Hamilton)和凯莱(A.Cay-ley)的著作中出现了矩阵的运算，从行列式到矩阵的出现，人约经过了100多年的时间。我们知道，在直角坐标系中，一个有序的实数数组ab和abc分别代表了平而上和空间上的一个点，这就是实数组

4、的儿何意义。类似的，在线性空间中如果确定了一个基，线性映射就可以用确定的矩阵来表示，这就是矩阵的儿何意义：线性空间上的线性映射。矩阵独立的几何意义表现为对向量的作用结果。矩阵对一个向量是如何作用的？矩阵对多个向量是如何作用的？矩阵对一个几何图形(由无数向量组成的几何图形)是如何作用的？在矩阵对一个几何图形的作用研究中，我们会发现一些有规律的东西比如特征向量、秩等等。5.1.矩阵的概念矩阵的本质就是一个长方形的数表，在生活屮的所有长方形数表都可以看成是矩阵。矩阵和行列式相似，也是以行和列组织的矩形数字阵列，因此称为矩阵

5、。与行列式的表示法不同，矩阵是用方括号把数字块括起来，表示一个有顺序有组织的数据块；而行列式是对这些数据块进行的一个运算，是一个算式，故称为行列式。矩阵的一个三阶例子如下：alblclabc222a3b3c3如果用数组来统一定义标量、向量和矩阵的话就是：标量是一维向量，向量是标量的数组，矩阵则是向量的数组。例如上面介绍的矩阵我们如果使用列向量aala2a3,bblb2b3,TTcclc2c3来表示它，这个矩阵就可以写作：abcoT当然，矩阵不只是只有儿何意义，也具有现实的物理意义，矩阵的运算也都可以从实践中找到。下而

6、有个例子：比如某家电器公司的制造厂有几个生产线，产线在2009年和2010年的上半年的产出量的统计表如下：顺序产线名2009年上半年的每月产出量第3页,共38页《线性代数的儿何意义》1月2月3月4月5月6月1冰箱线2235302325122吸尘器254332343530线3电视线232334444045顺序产线名2010年上半年的每月产出量1月2月3月4月5月6月1冰箱线2234302325122吸尘器线2443323435343电视线2323344541454于•机线3434354523435VCD线4524313

7、44512我们将第一个表格对应的矩阵记为A,第二个表格对应的矩阵记为B,则有：223530232512223430232512254332343530244332343534A232334444045和B232334454145。000000343435452343000000452431344512那么有：AB实际意义是：2009、2010年16月各产线每月产量的和2001年手机，VCD机的产量为0；BA实际意义是：2010年16月各产线每月产量比上年同期的增产呼况；设冰箱、吸尘器、―电视机、手机、VCD机的价格分

8、别是1500元台、900元治、300元治、2500元/台、980元治，则有向量c150090030002500980,那么矩阵乘法：cB的实际意义是：2010年16月该制造厂每种产品的月产值。如果每生产一件产品职工得到的奖励积分为3分，则数乘运算3A实际意义是2009年16月该厂各车间的职工月积分。第4页，共38页《线性代数的儿何意义》52矩阵