论文插值方法总结

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1、插值方法总结（一）Lagrange插值1.Lagrange插值基函数n+1个n次多项式T■牛x~xj儿（X）=11k=0,1,……,n；=oAk~Aj详k称为Lagrange插值基函数2.Lagrange插值多项式设给定n+1个互异点（xk,f（xk））,k=0,1,，斤，Xj工Xj,心j,满足插值条件=k=0,1,,n的n次多项式厶a=fl/（心儿（兀）=fl/（^）（fl入）“0"0>0xk~XiWk为Lagrange插值多项式，称r（n\）/E（x）=/（x）-乙（兀）二——T］（x-x.）为插值余

2、项，其中，=§（兀）e（%）（―）Newton插值1.差商的定义/（x）关于兀的零阶差商f（兀）关于兀，Xj的一阶差商/［兀宀］=—;Xj一兀依次类推，/（X）关于召，£+1，，兀屮的k阶差商/I兀，兀+1，…，兀屮1二"“小兀屮-12.Newton插值多项式设给定的n+1个互异点（xk,f（xk））,k=0,1,屮，兀主x「心j,称满足条件N=xJ=f(xk),k=0,1,的n次多项式g(x)=f[xQ]+f[xQ，兀]](兀一兀o)++/!%,兀i,…，兀」(兀一兀。)(兀一兀“―1)为Newton插值多项

3、式，称E(x)=/(x)-N”(x)=/[x0,xp,xtl]~[(x-xj),xe[a,b]；=o为插值余项。(三)Hermite插值设/(x)gCl[a,b],已知互异点勺，兀

4、,…，€[a,b]及所对应的函数值为九，人,…，fn，导数值为/o，/】，…，九，则满足条件H2“+1a)=.力,H2T(无)=i=0,1,…/的2n+1次Hermite插值多项式为H2“+1W=nf/j(X)+fjfj/3j(x)jJ=0其中勺⑴=[1—2(兀-x.)/；.(x7)]/；,卩j(x)(x-xp/J(x)称为Her

5、mite插值基函数，/y.(x)是Lagrange插值基函数，若/wC2,li2[a,h],插值误差为严+2)($)f(x)-H2tl+l(x)=—~(兀一兀°)…(兀一兀)，<=g(x)w(Q,b)(2n+2)!(四)分段插值设在区间S,勿上给定n+1个插值节点a=x0

6、切上取n+1个节点a=x()vX]<k=1,2称s（x）为3次样条插值函

7、数。（六）冇理插值设在区间［a,切上给定n+m+1个互异节点兀0，兀1'兀2，，兀“+加一1'兀卄加上的函数值=/（X,）,i=0,1,2,,n+m，构造一个有理插值R（兀）二几（兀）二為兀“+%兀心+・・・+d“_］兀+Q”一0（兀）一仇肝+勺严+…兀+船'满足条件：尺加（兀）=/（»），i=0丄2,,n+m则称心“（x）为点集｛*（），%1，兀2，，，兀+加｝上的冇理插值函数。例］.设兀°,兀［,…，兀“为n+1个互异的插值节点,/0（x）,/,（%）,…，仃⑴为Lagrange插值基函数，证明fj/y（x

8、）三1戶o证考虑/（x）三1,利用Lagrange插值余项定理f“+l(G念7心金DD…D显然Ln(x)=f(x)=1o利用Lagrange基函数插值公式，有Ln(X)=n/(x7)//x)=fl^Ij(x)=*；=O7=0例2给出下列表格:X00.20.40.60.81.05(x)00.199560.396160.588130.772100.94608对于正弦积分S(x)=f^,当S(x)=0.45时，求兀的值。解利用反插值计算线性插值，取f0=0.39616,tx=0.58813,兀°=0.4,兀］=0.6

9、。厶⑴=0.4•—0.588130.39616-0.58813+06r-0396160.58813-0.39616JCQ厶(0.45)=0.456092097□2次插值，取f()=0」9956,八=0.39616,t2=0.58813,x0=0.2,x}=0.4,x2=0.6厶2(0=02(r-0.39616)(r-0.58813)(0」9956-0.39616)(0.19956-0.