几类插值方法及其应用论文

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1、几类插值方法及其应用王莎20089001S041摘要：在工程应用中，经常会遇到函数的表达式是已知的，但该表达式却比较复杂难以计算，因此，希望用一个既能反映该函数的特性又便于计算的简单函数来描述它。本文对常见的几种插值方法-插值，插值，插值方法的基本思想、插值函数的构造等进行了详细的介绍。关键字：插值基函数，插值多项式，插值节点。一·引言实际问题中经常有这样的函数,其在某个区间上有有限个离散点，且这些点对应函数值为，若想得到其它点的值就必须找一个满足上述条件的函数表达式。这就是下边要讨论的插值函数。二·插值函数1.插值函数的基本思想:将待求的次插值多项式写

2、成另一种表达方,式再利用插值条件确定出插值基函由基函数条件,确定多项式系数，进而可得插值函数.2.提出问题：（1）已知，求满足条件的插值函数。由题可知表示过两点的直线，这个问题是我们所熟悉的，它的解可表为下列对称式此类一次插值称为线性插值，若令（由此可得：））则有这里的可以看作是满足条件的插值多项式，这两个特殊的插值多项式称作上述问题的插值基函数。（2）求过三点的插值函数。为了得到插值多项式先解决一个特殊的二次插值问题。求作二次式，使满足（2-1）这个问题是容易求解的，由式（2-1）的后两个条件知是的两个零点，因而。再用条件确定系数c.结果得：类似可以分

3、别构造出满足条件的插值多项式；其表达式分别为，这样构造出的称作问题（2）的插值基函数。设取已知数据作为组合系数，将插值基函数组合得验证可知，这样构造的满足已知条件，因而它就是问题（2）的解。例1.利用100，121的开方值求。解：将已知可表示为由此可得所以将代入上式，求得。(3)推广到一般：已知函数在n+1个不同点上的函数值分别为求一个次数不超过n的多项式,使其满足:即个不同的点可以决定的一个次多项式。过个不同的点分别决定个次插值基函数。每个插值基多项式满足：a.是次多项式;  b.,而在其它个点 由于故有因子: 因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数

4、因子。令:         由,可以定出,进而得到：  2.次拉格朗日型插值多项式是个次插值基本多项式的线性组合,相应的组合系数是。即:   从而是一个次数不超过n的多项式,且满足 例1求过点的拉格朗日型插值多项式。解用4次插值多项式对5个点插值。   可得 所以4拉格朗日插值多项式的截断误差我们在上用多项式来近似代替函数,其截断误差记作      当x在插值结点上时下面来估计截断误差：定理1：设函数的阶导数在上连续，     在上存在；插值节点为:    是次拉格朗日插值多项式；则对任意有：       其中，ξ依赖于；证明：由插值多项式的要求：   

5、   设其中是待定系数；固定且作函数则且所以在上有个零点，反复使用罗尔中值定理:存在 ，使;因是n次多项式，故而 是首项系数为1的n+1次多项式，故有        于是得所以设则：易知，线性插值的截断误差为:       二次插值的截断误差为:    三·插值函数的构造1.插值法的基本思想：已知节点处的函数值或一元函数代数方程，将待求的n次插值多项式改写为具有承袭性的形式，然后根据插值条件或选取初值以求得待定系数，进而求得所要的插值函数。插值与插值相比具有承袭性和易于变动节点的特点。2.问题的提出：实践中的许多问题归结为求一元代数方程的根，如果是线性函

6、数，则它的求根较容易；对非线性方程，只有不高于4次的代数方程有求根公式，经常需求出高于4次 的满足一定精度要求的近似解。  3.法的简述设是的一个近似根，把在处泰勒展开若取前两项来近似代替，则的近似线性方程设0，设其根为，则的计算公式为=-（k=0,1,2.....）这即为牛顿法，上式为牛顿迭代公式，其迭代函数为我们知道，牛顿法是解非线性方程最著名和最有效的方法之一，在单根附近它比一般的迭代格式有较快的收速度，但也要注意它也有缺点：首先，它对迭代初值选取要求较严，初值选取不好，可能导致吧收敛；其次，它每迭代一次要计算的值，这势必增加可计算量。为回避该问题

7、，常用一个固定的迭代若干步后再求。这就是下面要讲的简化牛顿法的基本思想。1.简化牛顿法和下山牛顿法（1）简化牛顿法的公式为(3-1)迭代函数若。即在根附近成立。则迭代法（3-1）局部收敛。此法显然化简了计算量。（2）牛顿下山法牛顿法的收敛依赖于初值的选取，若偏离较远，则牛顿法可能发散。为防止迭代发散，我们对迭代过程在附加一项条件，即具有单调性：（3-2）保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。将牛顿法的计算结果（3-3）于前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值（3-4）其中称（）为下山因子，即为（3-5）称为牛顿下山法。选择下山因子

8、时，从开始逐次将减半进行试算。直到满足条件（3-2）为止。例2求方程的根。（1）