第八讲分析时代

《第八讲分析时代》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第八讲分析时代在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上部具有鲜明特点的数学领域。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要吋期。§8.1微积分的发展与完善微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。大不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的人学里教授和研究牛顿的流数术，他们屮的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。泰勒在口己的《正的和反的增量方法》屮，陈述了他早在1712年就已获

2、得的那个著名定理:VV•V一x(z+V)=x+X——+x+x+…，其中V为独立变量z的增量，壬和2为1-z1-2-z21-2-3-Z2流数。泰勒假定z随时间均匀变化，故Z为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公h2式”：/(兀+h)=f(x)+hfx^—fx)+…。泰勒公式使任意单变量函数展为幕级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在零点的特殊情况后來被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教材中一直把这一特殊情形称为麦克劳林公式。麦克劳林是牛顿微

3、积分学说的竭力维护者，他曾试图对牛顿流数论进行严密的形式化推演，但因囿于几何传统而并不成功。麦克劳林Z后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋氏了大不列颠数学家的民族保守情结，使他们不能摆脱牛顿微积分学说小弱点的束缚。而在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼兹的后继者们的推动下蓬勃发展起来。推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主耍是由雅各布•们努利和约翰•伯努利两兄弟担当。他们的丄作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于1748年出版的《无限小分析

4、引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课木的典范而普遍使用着。这三部苦作包含了欧拉木人在分析领域的大最创造，同时引进了一批标准的分析学符号，对分析表述的规范化起了垂要作用。此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙FI和勒让德等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。18世纪的这些数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分木身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。约翰•伯努

5、利和欧拉在他们的论著中使川变量代换和部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教材中求函数积分的常用方法。当18世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们止在打开一片新天地。事实上他们已经进入了后來所谓的“椭圆积分”领域。在这一领域，法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒讣徳等都为特殊类型的椭圆积分积累了人最结果。而对椭圆函数的一般研究在19壯纪20年代被阿第八讲分析时代在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上部具

6、有鲜明特点的数学领域。18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要吋期。§8.1微积分的发展与完善微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。大不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的人学里教授和研究牛顿的流数术，他们屮的优秀代表有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。泰勒在口己的《正的和反的增量方法》屮，陈述了他早在1712年就已获得的那个著名定理:VV•V一x(z+V)=x+X——+x+x+…，其中V为独立变量z的增量，壬和2为1-z1-2-z21-2-3-Z2流数。泰勒假定z随时间均匀变化

7、，故Z为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公h2式”：/(兀+h)=f(x)+hfx^—fx)+…。泰勒公式使任意单变量函数展为幕级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在零点的特殊情况后來被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教材中一直把这一特殊情形称为麦克劳林公式。麦克劳林是牛顿微积分学说的竭力维护者，他曾试图对牛顿流数论进行严密的形式化推演，但因囿于几何传统而并不成功。麦克劳林Z后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋氏了大不

8、列颠数学家的民族保守情结，使他们不能摆脱牛顿微积分学说小弱点的束缚。而在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼兹的后继者们的推动下蓬勃发展起来。推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主耍是由雅各布•们努利和约翰•伯努利两兄弟担当。他们的丄作，构成了现今所谓初