浅谈极限思想

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1、浅谈极限思想摘要极限思想谈的是数学屮的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题和函数极限概念小结极限思想应用的举例。关键词极限函数导数所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限來定义的。一、极限思想的产生与发展1、极限思想的由来与一切科学的思想方法一样，极

2、限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成了冇关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。2、极限思想的发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相

3、联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产和技术屮大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新丁具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并山此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础

4、，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给泄的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在儿何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，n无限地接近于常数A,那么就说n以A为极限”。这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没冇定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。3、极限思想的完善极限思想的完善与微

5、积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；対变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需耍，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f的导数定义为差商?=y/?二x的极限F(x),他强调指

6、岀f'(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是冇价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所冇其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”。为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓n二A,就是指：“如果对

7、任何？八>0,总存在自然数N,使得当n〉N时，不等式

8、n-A

9、

10、数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限