极限思想综述

《极限思想综述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、极限思想综述【摘要】极限思想谈的是数学中的思维问题，它的使用广泛是由数学本身的发展所决定的.本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限思想的诞生与发展，以及中国古代极限思想成就.主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述一下有关的极限思想的问题。【关键词】极限思想应用【作者简介】陈岩：女，长春师范学院数学学院1300001982年5月，吉林省辽源市助教周晨星：长春师范学院数学学院职称：讲师1962年2月生，辽宁义县人，研宄方向计算数学在现代初等数学教学中，越来越多的涉及到极限的相关内容，因此极

2、限思想的发展和应用也越来越受到重视。极限思想的发展史1.1极限思想__实践的产物思维的诞生与发展无非是要经历这样一个过程，首先，在一些实际生活例子当中出现相关的思想，经过长期的研宄与发展，最终产生具体的定义，随之进一步发展、探究，有了较为系统的认识。与一切科学方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限法的思想可以追溯到古代.刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用。古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于简接证法•归谬法完成

3、有关证明到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法证明步骤。这样，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向”。极限思想的进一步发展与微积分的建立有紧密联系。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到很大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研宄常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会北互冃尿。

4、起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量△S与时间的改变量At之比△S/At表示运动物体的平均速度，让At无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础。他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等。”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上，因而他无法得出

5、极限的严密表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，无限地接近于常数A，那么就说以A为极限。”这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，宄竟At是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除数呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢？这就是数学史上所说的

6、无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要而且有着认识论上的重大意义。1.2极限思想的完善极限思想的完善与微积分的严格化有密切联系.在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到

7、变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚，对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解，对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。”它接近于极限的正确定义，然

8、而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。”特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。柯西把无穷小视为以0为极限的变量，