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《极限思想、地位和应用【文献综述】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、毕业设计文献综述数学与应用数学极限思想、地位和应用【摘要】极限概念是现代分析数学乃至整个数学领域中最重要的概念之一,它的计算方法和论题也在迅速扩大,到今天已成为一个非常活跃又富有吸引力的研究领域.本文主要内容分为三部分.首先,本文陈述了极限思想的产生、发展及完善过程;其次,介绍了极限思想在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献;最后,介绍了极限思想及极限方法的广泛应用.极限的问题,集探讨性、深入性、逻辑性、分析性于一体.考查极限的思想、地位和作用,不仅可使学生将基本知识融汇贯通,提高学生的发散思维和解决生活实际问题的能力,
2、还可以在教学,社会经济等方面起到节能作用.【关键词】极限;极限思想;微积分;极限应用极限概念是分析数学中最基本的概念之一,极限思想是数学中极为重要的思想.在数学领域"极限"是有严格定义的,用以描述变量在一定的变化过程中的极限状态.极限理论是人类思想文化的结晶,蕴涵着丰富的辩证思想,极限的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它将初等数学扩展为变量数学,它是变量数学的基础理论.而"极限"有其漫长的历史,历史上的数学家花了两千余年的时间将其概念完善和严密化.极限思想是社会实践的产物.追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种
3、原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人"对无限的恐惧",他们避免明显地"取极限",而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明.古朴的极限思想主要指通过整体细分,按照某种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想.到了16世纪,荷兰数学家斯蒂文在考察三角形重心的过程中在无意中"指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向".16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具.牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的
4、平均速度,让无限趋近于零,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论.他意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础,但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的,因而他无法得到极限的严格表述.19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出:"当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值,特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小".柯西把无穷小视为以0
5、为极限的变量,这就澄清了无穷小"似零非零"的模糊认识.柯西试图消除极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义,然后去完成牛顿的愿望.但柯西的叙述中还存在捕述性的词语,如"无限趋近"、"要多小就多小"等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度.为了排除极限概念中的直观痕迹,德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的定义,它使极限概念从动态观点过渡到了静态观点,用静态的有限量刻画动态的无限量,再也用不着借助于几何直观和想象了.这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立,给微积分提供了严格的理论基础.所谓极限法,是指用极限概念
6、分析问题和解决问题的一种数学方法.极限法的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果.极限法不同于一般的代数方法,代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数,而在极限法中则是由无限个数来确定一个数.很多问题,用常量数学的方法无法解决,却可用极限法解决.近代意义的极限思想是与无限逼近相联系的,是一种通过无限细致的分割而探讨整体的思想,最终明确化为算法化的极限方法.极限思想是近代数学的一种重要思想,它是数学分析乃至全部高
7、等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学本质区别之处,许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题),采用了极限的思想方法后得以解决.极限的思想办法贯穿于数学分析课程的始终,在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念,产生数学分析中连续思想及应用、导数思想及应用、微分思想及应用、积分思想及应用、级数思想及应用等,从而形成整体的数学
8、分析理论.如果要问:"数学分析是一门什么学科?"那么可以概括地说:"数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科."这也标志了极限思想在数学分析中的重要地位.极限思想在现代数学乃至物理等学科中有广泛应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限思想贯穿
