极限的求法综述

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1、极限的求法综述　　摘要：本文归纳了15种求极限的基本方法.对一般的极限用这些方法可以求出来，较复杂的可能要综合几种方法才能求出.关键是“运用之妙，存乎一心”.　　关键词：极限求法数学分析　　极限法在现代数学乃至物理等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确.　　极限的原始思想可追溯到古代.在中国，公元前4世纪的公孙龙有“一尺之棰，

2、日取其半，万世不竭”的提法，古希腊欧多克斯提出“穷竭法”，后来欧几里得、阿基米德等对面积、体积的研究，都导向极限思想.　　极限思想贯穿整个高等数学课程之中，给定函数的极限的求法是极限思想的基础，现总结其求法如下.　　一、利用极限的四则运算性质求极限5　　对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，而要采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定.常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式及适当

3、的变量替换.　　为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号limf（x）表示f（x）在某个极限过程中的极限.　　二、利用两个重要极限公式求极限　　两个重要极限为：=1，（1+）=e或（1+x）=e.使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化.　　三、利用夹逼准则求极限　　夹逼准则：若一正整数N，当n>N时，有x≤y≤z且x=z=a，则有y=a.　　利用夹逼准则求极限关键在于从x的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{y}和{z}，使得y≤x≤z.　

4、　四、利用单调有界准则求极限　　单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.　　利用单调有界准则求极限，关键是先证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.　　五、利用函数的连续性求极限　　这种方法适用于求复合函数的极限.如果u=g（x）在点x连续g（x）=u，而y=f（u）在点x连续，那么复合函数y=f（g（x））在点x连续.即f（g（x））=f（g（x））=f（g（x））.　　六、利用无穷小量的性质求极限　　无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.如果5f（x）=0，g（x）在某区间（x-δ，x），（x，x+δ）有界，那

5、么f（x）?g（x）=0.　　七、利用等价无穷小量代换求极限　　等价无穷小量：当→1时，称y，z是等价无穷小量：记为y～z.在求极限过程中，往往可以对其中的无穷小量或它的主要部分做代换.但是，不是乘除的情况不一定能这样做.　　八、利用导数的定义求极限　　导数的定义：函数f（x）在x附近有定义，？坌Δx则Δy=f（x+Δx）-f（x）.如果=存在，则此极限值就称函数f（x）在点x的导数，记为f′（x）.即f′（x）=.在这种方法的运用过程中，首先要选好f（x），然后把所求极限表示成f（x）在定点x的导数.　　九、利用洛必达法则求极限　　洛必达法则对不

6、定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，但洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后应用洛必达法则.洛必达法则只说明当lim等于A时，那么lim也存在且等于A.如果lim不存在时，并不能断定lim也不存在，只是这时不能用洛必达法则，而必须用其他方法讨论lim.　　使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大地简化运算.　　十、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限　　设函数f（x）在x=0的某个邻域内有定义，且f（0）存在，则对该邻域内任意点x有如下表示式成立5　　f（x）=f（0）+f′（0）x++

7、…+x+0（x）.　　此式称为f（x）的具有皮亚诺余项的n阶麦克劳林展式，对某些较复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决，必须熟悉一些常用展式.　　十一、利用定积分定义及性质求极限　　若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数及积分区间.　　十二、利用级数收敛的必要条件求极限　　级数收敛的必要条件是：若级数u收敛，则u=0，故对某些极限f（n），可将函数f（n）作为级数f（n）的一般项，只需证明此级数收敛，便有f（n）=0.　　十三、利用幂级数的和函数求极限　　当数列本身

8、就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和.此时常可以辅助性地构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为