极限的求法综述[应用].doc

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1、求极限的方法摘要：求极限的方法是高等数学的一个重点，而极限概念是微积分学的屮心内容。因此弄清极限概念，熟练掌握极限的计算方法，对于学好高等数学是I-分必要的。为此，木文将高等数学屮务种极限的计算方法，系统地归纳起来，对于在求极限时，能够灵活地运用求极限的法则，较熟练地选择简便的方法，是很有帮助的。关键词：正文：极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一割圆术，就是极限思想在儿何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A

2、1；再作内接正十二边形，其面积记为A?;再作内接正十二边形，其面积记为A3；循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6X20-1边形的面积记为An（neN）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1,A2,A3…,An,..…，它们构成一列有次序的数。当n越大,内接正多边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为n-8）,即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程屮，内接正多边形无限接近

3、于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A

4、,A2,A3,..…,An,..…当8时的极限。极限有两种.：lim数列极限：xn=a^>V£〉0,日一个正整数N,当n〉N时，恒有

5、Xn-a

6、OOlim函数极限：f(x)=A<^8>0,一个x>0,当

7、x

8、>X,ftl有

9、f(x)—A

10、V&XToolimf(x)=A<=>V£>0,3一个6>0,当0<

11、x—Xo

12、<8时,恒有

13、f(x)—A

14、

15、利用极限定义求极限［解题提示］当数列Xn不单调时，其极限的存在性可考虑用极限的泄义证明。解题程序是先求出xn后,再证xn的存在性。［例1］设X1=2,Xn+

16、=2+丄，n31,求lmxnxnntoo［解］令亦X产m，则11—>oolimlimXn+1=11—>oo/z—>oo即m=2+1/m则m=l±V2Vxn^2m2故m=l+V2（m=l_V2舍去）以下证"mXn存在〃T8对任意8>0,Ixn-m

17、=

18、（2+」一）-（2+丄）

19、=I」一-丄兀Im兀Im二兀-_加<兀一_加V兀_2_加V…

20、xn_{442°召<£由极限定义"m（百-加）=0,故"mXn=m=l+V2zz—>00n—>00§2子序列的极限与函数的极限等值即子序列的极限可用函数极限求出o［例1］lim〃T8（711）tgn—I—（4nJ心…lim71［解］先求tanx（―xT+84lim2・（兀2）sin—<2X）XT+oo（2—arct兀［例2］求恤n—>+8［解］先求limnT+8(2—arctgx2—arctgxlimx1In_丿T+

21、tgxX—>+oo=0故原极限为0。§3约简分式的方法即是化简分子分母，能约分的约分，使能求出分式的极限。［例1］求极限血XT1［解］limX―》1xm-xn-=lim(x-lXx^+x'-2+•••+!)x-»l(x-l)(y,-1+xn_2+•••+!)lim上++…1_l+l+・・・+1(加项)=m兀T1兀+兀"一2+....+11+1+..・+1(“项)fl［例2］求极限hm尢T8yjn2+1+Va?（n是正整数变量）［解］分了.分母备项除以m得原式=limIIOO注：约简分式的方法实质是分

22、了与分母除以相同的式了，以有利于求极限。§4有理化分子或分母即是通过因式分解或根式有理化，消去“（T因了，再用极限运算法则或连续函数极限的求法求解。所谓根式有理化是指极限屮含有侖土亦(或d土亦)的题性型，在求极限Z前先用它们的共觇根式4^+4b^a+4b)分别乘以分了、分母，使其“0”因了呈现出来的一种运算。,lim［例1］求x—>a［解］原式」m*XT0十limx—>—ci厶+7Qx_a（Vx+［例2］求极限IBXT-X2+y［x［解］分子与分母同乘以（Vi二I+3）（22-2V7+VF）（1_兀_9

23、）（4_2真+戸）（Vl—x+3）（8+x）了4_2坂+疔）=2,Jl—x+3］limXT§5利用夹逼定理(夹逼定理)、n_亠lim设在Xo的邻域内，恒有。(X)+x［解］vOOOV3A-^dx=lim爲二JI—>oo7?+1