（黄冈名师）高考数学核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理（含解析）新人教A版

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1、核心素养提升练二十七平面向量的数量积及应用举例(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知

2、a

3、=6,

4、b

5、=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为(　　)A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为

6、a

7、cos=4,

8、b

9、=3,所以a·b=

10、a

11、

12、b

13、·cos=3×4=12.2.如图,在圆C中,点A,B在圆上,则·的值(　　)A.只与圆C的半径有关B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关C.只与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】选C.如图,过圆心C作CD⊥AB,垂足为D,则·=

14、

15、

16、

17、·cos∠CA

18、B=

19、

20、2.所以·的值只与弦AB的长度有关.3.在△ABC中,若

21、

22、2=·+·+·,则△ABC是(　　)A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.依题意得

23、

24、2=·(+)+·=

25、

26、2+·,所以·=0,⊥,△ABC是直角三角形.【变式备选】已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=(　　)A.-3　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1【解析】选A.因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0,所以k++2=0,解得k=-3.4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ

27、),λ∈R,若·=-,则λ=(　　)A.B.C.D.【解析】选A.因为·=-,所以-=·=·=-

28、

29、2-λ

30、

31、2+·=-4-4λ+2=-2λ2+2λ-2,解得λ=.【一题多解】选A.如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ-1,由=(1-λ),得x2=-λ;y2=(1-λ),于是=(-λ-1,(1-λ)),=(2λ-1,-),由·=-得:(-λ-1)(2λ-1)-3(1-λ)=-,解得λ=.【变式备选】已知非零向量a,b的夹角为,且

32、b

33、=1,

34、b-2a

35、=1,则

36、a

37、=(　　)A.　　　B.1

38、　　　C.　　　D.2【解析】选A.依题意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4a·b=1,1+4

39、a

40、2-2

41、a

42、=1,4

43、a

44、2-2

45、a

46、=0(

47、a

48、≠0),因此

49、a

50、=.5.(2017·全国卷Ⅲ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　)A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y

51、(-y)=2x2+2-≥-,当P时,·(+)取得最小值,最小值为-.【变式备选】已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则

52、a-b

53、的最小值为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.1【解析】选A.由题意可知-1=a·b=

54、a

55、·

56、b

57、cos120°,所以2=

58、a

59、·

60、b

61、≤,即

62、a

63、2+

64、b

65、2≥4,当且仅当

66、a

67、=

68、b

69、时等号成立,

70、a-b

71、2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,所以

72、a-b

73、≥,所以

74、a-b

75、的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹

76、角的余弦值为________. 【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0,即(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3,则m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos==.答案:7.(2019·济南模拟)已知A(-1,cosθ),B(sinθ,1),若

77、+

78、=

79、-

80、(O为坐标原点),则锐角θ=________. 【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OA⊥OB.因此·=0,

81、所以锐角θ=.答案:【一题多解】坐标法:+=(sinθ-1,cosθ+1),-=(-sinθ-1,cosθ-1),由

82、+

83、=

84、-

85、可得(sinθ-1)2+(cosθ+1)2=(-sinθ-1)2+(cosθ-1)2,整理得sinθ=cosθ,于是锐角θ=.答案:8.如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则·的最大值为________. 【解析】由平面向量的数量积的几何意义知,·等于

86、

87、与在方向上的投影之积,所以