2、)在(-∞,0]上的最大值,又因为-a2≤0,所以f(-a2)≤f(-1).2.设10,所以函数y=f(x)在(1,2)内为增函数.所以f(x)>f(1)=1>0,所以x>lnx>0⇒0<<1.所以<.又-==>0,所以<<.3.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则sin的最小值是( )A.0 B.-
3、 C. D.-1【解析】选D.因为f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1,所以f′(x)=x2+2bx+a2+c2-ac,又因为函数f(x)有极值点,所以f′(x)=0有两个不相等的实数根,即x2+2bx+a2+c2-ac=0有两个不相等的实数根,所以Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,即ac>a2+c2-b2,根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB,所以a2+c2-b2=2accosB,所以ac>2accosB,即cosB<,又因为∠B是三角形的一个内角,所以∠B的取值范围是.所以<2B-<,所以-1
4、≤sin≤1.即sin的最小值为-1.4.设f(x)=,g(x)=ax+3-3a(a>0),若对于任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使得g(x0)=f(x1)成立,则a的取值范围是( )A.[2,+∞)B.[1,2]C.[0,2]D.[1,+∞)【解析】选B.当x1∈[0,2],函数f(x)=,则f′(x)=,令f′(x)=0,解得x=1.当x∈[0,1)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在[0,1)上单调递增;当x∈(1,2]时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(1,2]上单调递减;所以当x=1时,f(x)取
5、得最大值1,当x=0时,f(x)取得最小值为0,故得函数f(x1)的值域M=[0,1].当x0∈[0,2]时,因为a>0,所以函数g(x)=ax+3-3a在其定义域内是增函数,当x=0时函数g(x)取得最小值为3-3a.当x=2时函数g(x)取得最大值为3-a.故得函数g(x)的值域为N=[3-3a,3-a].因为M⊆N,所以.解得1≤a≤2.5.已知函数g(x)满足g(x)=g′(1)ex-1-g(0)x+x2,且存在实数x0,使得不等式2m-1≥g(x0)成立,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,2]B.(-∞,3]C.
6、[1,+∞)D.[0,+∞)【解析】选C.g′(x)=g′(1)ex-1-g(0)+x,令x=1,得g′(1)=g′(1)-g(0)+1,所以g(0)=1,g(0)=g′(1)e0-1,所以g′(1)=e,所以g(x)=ex-x+x2,g′(x)=ex-1+x,当x<0时,g′(x)<0,当x>0时,g′(x)>0,所以当x=0时,函数g(x)取得最小值g(0)=1.根据题意得2m-1≥g(x)min=1,所以m≥1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某产品包装公司要生产一种容积为V的圆柱形饮料罐(上下都有底),一个单位面积
7、的罐底造价是一个单位面积罐身造价的3倍,若不考虑饮料罐的厚度,欲使这种饮料罐的造价最低,则这种饮料罐的底面半径是________. 【解析】由V=πr2h,得h=,设f(r)=3×2×πr2+2πrh=6πr2+,所以f′(r)=12πr-=,所以f(r)在上单调递减,上单调递增,所以当r=时造价最低.答案:7.若存在正数x,使2x(x-a)<1成立,则实数a的取值范围是________. 【解析】由2x(x-a)<1得x-a<,即a>x-,即存在正数x使a>x-成立即可,令h(x)=x-(x>0),则h(x)为增函数,所以当x
8、>0时,h(x)>h(0)=0-=-1,所以a>h(x)min,即a>-1,即a的取值范围是(-1,+∞).答案:(-1,+∞)8.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的取值范围是________. 【解析】对任
