（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第五节二次函数与幂函数教案（含解析）

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1、第五节二次函数与幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1图象定义域RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质f(x)＝ax2

7、＋bx＋ca＞0a＜0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴：x＝－；②顶点：[小题体验]1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)A．B．4C．D．解析：选C　设f(x)＝xα，∵图象过点，∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，∴f(2)＝2－＝.2．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m

8、＝－1或m＝2.又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴m＝2.答案：23．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16.答案：(－∞，16]1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出

9、现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．答案：2．给出下列命题：①函数y＝2x是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；③当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数；④二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.其中正确的是________(填序号)．答案：②[题组练透]1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)A．3　　　　　　　　　B．1－C.

10、－1D．1解析：选C　设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝，所以f(x)＝x＝，所以f(2)－f(1)＝－1.2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)A．－2B．1C．1或－2D．m≠解析：选B　因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝1.3．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜

11、0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.答案：[谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(

12、3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.[典例引领]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用二次函数的顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－

13、1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用两根式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax