（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第八节函数与方程教案（含解析）

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1、第八节函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋b

2、x＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210[小题体验]1．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致范围是(　　)A．(1,2)　　　　　　　　　B．(2,3)C.和(3,4)D．(4，＋∞)解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：选B　函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数

3、，∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，∴函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.3．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．答案：1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2

4、时，f(x)＝－x2＋2x；当x＞2时，f(x)＝(x－2)2，则方程f(x)＝的所有实数根之和是(　　)A．2B．3C．5D．8解析：选C　画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x＜2时，两根之和是2，x＞2时，由(x－2)2＝，解得x＝3，故方程f(x)＝的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－

5、4ac＜0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④[题组练透]1．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1)　　　　　　　　B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：选B　∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝ax＋x－b，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在

6、零点．2．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B　函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞

7、0，∴f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)＜0时，函数在区间(a，b

8、)内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．[典例引领]1．(2019·温州质检)已知函数f(x)＝x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：选C　如图，作出g