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时间:2019-10-23
《2019_2020学年高中数学第4章圆与方程4.1.2圆的一般方程学案新人教A版必修2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1.2 圆的一般方程学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.(重点)2.会在不同条件下求圆的一般式方程.(重点)1.通过圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2.通过学习圆的一般方程的应用,培养数学运算的数学素养.圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念:当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程对应的圆心和半径:圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为,半
2、径长为.思考:所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程都表示圆吗?[提示] 不是,只有当D2+E2-4F>0时才表示圆.1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )A.(2,3) B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)D [-=2,-=-3,∴圆心坐标是(2,-3).]2.方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆,则实数k的取值范围为( )A.k≤B.k=C.k≥D.k0⇔k<.]3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y=0垂直的
3、直线方程是( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y-1=0D.x-y+1=0D [由题意知圆心坐标是(-1,0),故所求直线方程为y=x+1,即x-y+1=0.]4.圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3,则m的值为________. [因(x+1)2+(y-2)2=5-m,∴r==,∴m=.]圆的一般方程的概念【例1】 (1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.R B.(-∞,1)C.(-∞,1]D.[1,+∞)(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2
4、)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.(1)B (2)(-2,-4) 5 [(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圆,则5-5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞,1).故选B.(2)由题可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,表示圆,故圆心为(-2,-4),半径为5.当a=2时,方程不表示圆.]形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次
5、方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0,成立则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.1.下列方程能否表示圆?若能表示圆,求出圆心和半径.(1)2x2+y2-7y+5=0;(2)x2-xy+y2+6x+7y=0;(3)x2+y2-2x-4y+10=0;(4)2x2+2y2-5x=0.[解] (1)∵方程2x2+y2-
6、7y+5=0中x2与y2的系数不相同,∴它不能表示圆.(2)∵方程x2-xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项.∴它不能表示圆.(3)方程x2+y2-2x-4y+10=0化为(x-1)2+(y-2)2=-5,∴它不能表示圆.(4)方程2x2+2y2-5x=0化为+y2=,∴它表示以为圆心,为半径长的圆.求圆的一般方程【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.[解] 法一:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F
7、=0,∵A,B,C在圆上,∴∴∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.法二:∵kAB==,kAC==-3,∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形,∴外心是线段BC的中点,坐标为(1,-1),r=
8、BC
9、=5.∴外接圆方程为(x-1)2+(y+1)2=25.待定系数法求圆的方程的解题策略:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标
10、准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D、E、F.2.求经过点A(-2,-4)且与直线x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.[解] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为.∵圆与x+3y-26=0相切于点B,∴·=-1,即E-3D-36=0.①∵(-2,-4),(8,6)在圆上,
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