高中数学 4.1.2圆的一般方程学案 新人教a版必修2

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1、圆的一般方程1．圆的一般方程的特征2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆有关的点的轨迹例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0（2）4x2+4y2–4x+12y+11=0解析：（1）将原方程变为x2+y2–x+3y+=0D=–1，E=3，F=.∵D2+E2–4F=1＞0∴此方程表示圆，圆心（，），半径r=.（2）将原方程化为x2+y2–x+3y+=0D=–1，E=3，F=.D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圆.例2求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方

2、程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：即解此方程组，可得：D=–8，E=6，F=0∴所求圆的方程为：x2+y2–8x+6y=0；.得圆心坐标为(4，–3).或将x2+y2–8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，(x–4)2+(y+3)2=25，从而求

3、出圆的半径r=5，圆心坐标为(4，–3).例3已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x+1)2+y2=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以，①于是有x0=2x–4，y0=2y–3因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+y02=4②把①代入②，得(2x–4+1)2+(2y–3)2=4，整理得所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.MAxyOB经典习题例1下列各方程表示什么图形

4、？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x2+y2+x+1=0；（2）x2+y2+2ac+a2=0(a≠0)；（3）2x2+2y2+2ax–2ay=0(a≠0).【解析】（1）因为D＝1，E＝0，F＝1，所以D2+E2–4F＜0方程（1）不表示任何图形；（2）因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2+E2–4F＝4a2–4a2=0，所以方程（2）表示点(–a，0)；（3）两边同时除以2，得x2+y2+ax–ay=0，所以D=a，E=–a，F=0.所以D2+E2–4F＞0，所以方程（3）表示圆，圆心为，半径.点评：也可以先将方程配方再判断.例2已知一圆过P(4，–2)、Q(

5、–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0①将P、Q的坐标分别代入①得②③令x=0，由①，得y2+Ey+F=0④由已知

6、y1–y2

7、=，其中y1，y2是方程④的两根.∴(y1–y2)2=(y1+y2)–4y1y2=E2–4F=48⑤解②③⑤联立成的方程组，得故所求方程为：x2+y2–2x–12=0或x2+y2–10x–8y+4=0.法二：求得PQ的中垂线方程为x–y–1=0①∵所求圆的

8、圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a–1)，又圆C的半径②由已知圆C截y轴所得的线段长为，而圆C到y轴的距离为

9、a

10、.代入②并将两端平方，得a2–5a+5=0，解得a1=1，a2=5.∴故所求的圆的方程为：(x–1)2+y2=13或(x–5)2+(y–4)2=37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3已知方程x2+y2–2(t+3)x+2(1–t2)y+16t4+9=0表示一个圆，求（1）t的取值范围

11、；（2）该圆半径r的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D2+E2–4F=4(t+3)2+4(1–t2)2–4(16t4+9)＞0即7t2–6t–1＜0，∴（2）∴