2019_2020学年高中数学第1章计数原理1.3.1二项式定理讲义新人教B版

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1、1.3.1　二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)教材整理　二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理二项式系数各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Can－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二项展开式Can＋Can－1

2、b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)备注在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn(n∈N＋)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)(3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．(　　)(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　)【解析】　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×　因为二项式的第r＋1

3、项Can－rbr和(b＋a)n的展开式的第r＋1项Cbn－rar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×　因为Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r＋1项．(4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√二项式定理的正用、逆用【例1】　(1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.【精彩点拨】　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理

4、展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解】　(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式

5、定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求4的展开式；(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.【解】　(1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】　(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的

6、系数．【精彩点拨】　利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【解】　(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)rC·26－r·x3，∴T6＝－12·x.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系

7、数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，∴n＝8.∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有∴5≤r≤

8、6.∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8)．∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求4展开式中的常数项？【提示】　利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－