2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3.3函数的最大（小）值与导数学案新人教A版

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1、1.3.3　函数的最大(小)值与导数学习目标核心素养1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.2.借助函数最值的求解问题，提升学生的数学运算的核心素养.1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．思考：函数的极值与最值的区别是什么？[提示]　函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值

2、必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)

3、也可以是无穷区间．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上(　　)A．无最值　　　　　B．有极值C．有最大值D．有最小值A　[f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]2．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为(　　)A．0　　　　B

4、.C.　　　　D.C　[f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.1　[f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1.]求函数的最值角度1

5、　不含参数的函数最值【例1】　求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈.[解]　(1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x

6、)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝，又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±.∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为f＝－，f＝－＋.又f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.角度2　含参数的函数最值【例2】　a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．[解]　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.∵

7、x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)x0(0，)(，1)1f′(x)＋0－f(x)0↗2a↘3a－1(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点

8、(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．2．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(