专题24 等比数列及其前n项和-2017年高考数学（理）热点题型和提分秘籍（解析版）

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1、1．理解等比数列的概念2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4．了解等比数列与指数函数的关系[来源:Z#xx#k.Com]热点题型一等比数列的基本运算例1、已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18。(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由。解得故数列{an}的通项公式为an＝3(－2)n－1。(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n

2、。若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012。当n为偶数时，(－2)n＞0.上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11。综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n

3、n＝2k＋1，k∈N，k≥5}。【提分秘籍】1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”北京凤凰学易科技有限公司电话：010-58425260邮箱：editor@zxxk.com学科网©版权所有消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的

4、应用。2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论。【举一反三】设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝__________。解析：显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝。答案：热点题型二等比数列的判定与证明例2、已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数。(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。(2)因

5、为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn。又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－bn。可知bn≠0，所以＝－(n∈N*)。故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列。学科网【提分秘籍】证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1。若判断一个数列不是等比

6、数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法。北京凤凰学易科技有限公司电话：010-58425260邮箱：editor@zxxk.com学科网©版权所有【举一反三】设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3，求证：数列{bn}是等比数列，并求an。证明：由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即

7、＝＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列。由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1。故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3。热点题型三等比数列的性质及其应用例3．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)A．4B．6C．8D．8－4(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)A．80B．30C．26D．16(2)由等比数列性质得，Sn，S2n－Sn，S

8、3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，则(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，所以(S2n－2)2＝2×(14－S2n)。又S2n>0，得S2n＝6，又(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)，所以(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)。解得S4n＝30。【提分秘籍】等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，北京凤凰学易科技有限公司电话：010-58425260邮箱：editor@zxxk.com学科网©版权所有②等比中项的变形，③前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题

9、的突破口。【举一反三】在等比数列中，已知a1aa15＝243，则的值为(　　)A．3B．9C．27D．81答案：B1.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+