2.9函数与方程

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.9函数与方程1、零点的判定○相关链接○（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。（2）用定理：零点存在性定理。注：如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，但不一定成立。(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断○例题解析○〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。（1）f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];（2）f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的

2、交点来求解。解答：（1）方法一：∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点方法二：令f(x)=0得x2-3x-18=0，x∈[1,8]。∴(x-6)(x+3)=0,∴x=6∈[1,8],x=-3[1,8],∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点（2）方法一：∵f(1)=log23-1>log22-1=0,f(3)=log25-3

3、og2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点。注：(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断.(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.2、函数零点个数的判定○相关链接○函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,b］上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0,还必

4、须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.○例题解析○判断函数在区间上零点的个数，并说明理由。分析：求的值判断函数在上的单调性函数零点个数。解答：注：在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象交点问题，用图象法求解，但图象画的太粗糙易出现失误；若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.3、与二次函数有关的

5、零点分布问题○相关链接○设是实系数一元二次方程的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件：根的分布（且均为常数）图象满足的条件[只有一根在之间或○例题解析○〖例〗（1）m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；（2）若函数f(x)=

6、4x-x2

7、+a有4个零点，求褛a取值范围。分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。解答：（1）①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或

8、m=-1②方法一：方程思想若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4,故只需，故m的取值范围是方法二：函数思想若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足，故∴m的取值范围是。（2）若f(x)=

9、4x-x2

10、+a有4个零点，即4x-x2

11、+a=0有四个根，即

12、4x-x2

13、=-a有四个根，令g(x)=

14、4x-x2

15、,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,由图象可知要使

16、4x-x2

17、=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。故需满足0<-a<4,即-4

18、数零点的存在情况求参数的取值○相关链接○已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.○例题解析○〖例〗(2012·临沂模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,　(1)若g(x)=m有实数根，求m的